En las matemáticas, los teoremas del isomorfismo del son tres teoremas aplicados extensamente en el reino de la álgebra universal, indicando la existencia de los isomorphisms naturales de cierto

Historia

Los teoremas del isomorfismo fueron formulados original por el premio Emmy Noether en su der de papel Idealtheorie de Abstrakter Aufbau del adentro algebraischen el und Funktionenkörpern de Zahl- que fue publicado en 1927 en el Mathematische Annalen .

Tres años más adelante, el B. van der Waerden publicó su álgebra influyente del, el libro de textos abstracto de la álgebra del primer que tomó el ahora-tradicional agrupa - anillos - acercamiento de los campos al tema. Conferencias acreditadas Waerden de Van der de Noether en la teoría de grupo y el Emilio Artin en álgebra, tan bien como un seminario conducido por Artin, el Wilhelm Blaschke, el Otto Schreier, y van der Waerden mismo en los ideales como las referencias principales. Los tres teoremas del isomorfismo, llamados el teorema del homomorfismo del, y dos leyes del isomorfismo cuando están aplicados a los grupos, aparecen explícitamente.

Grupos

Primero indicamos los teoremas del isomorfismo para los grupos, donde toman una forma más simple y un estado las características importantes de los grupos del cociente (también llamados los grupos de factor). Los tres implican el " modding hacia fuera el " de ; por un subgrupo normal .

Primer teorema del isomorfismo

Si el G y el H es grupos y el f es un homomorfismo G a el H, después el K del núcleo f es un subgrupo normal G, y el G / K del grupo del cociente es el isomorfo a la imagen f y la imagen f es un subgrupo H .

Si

$G,\; H\; \backslash \; texto\; \{es\}\; \backslash ;\; de\; los\; grupos$ f\; del$$
de : G \ a H, f \ texto {es} \; del homomorfismo entonces $del\; \backslash \; operatorname\; \{Ker\}\; (f)\; \backslash$
$G/\backslash \; operatorname\; \{Ker\}\; (f)\; \backslash $ cong\; \backslash \; del\; operatorname\; \{Im\}\; (f)$\backslash \; operatorname\; \{Im\}\; (f)\; \backslash \; texto\; \{es\; unsubgrupode\}\; H$ de G del triangleleft

Segundo teorema del isomorfismo (también conocido como el tercer teorema del isomorfismo)

Dejar el H y el K ser subgrupos del G del grupo, y asumirlos que el H es un subgrupo del normalizador K . Entonces el ensambla el HK de del H y el K es un subgrupo de G, K es un subgrupo normal del HK,   del H ; el K del ∩ es un subgrupo normal de H, y el HK / K es el isomorfo al H /(  del H ; K del ∩).

Si

$H,\; K\; \backslash \; texto\; \{son\; los\; subgrupos\; de\; grupo\}\; G\; \backslash ,$
$H\; \backslash \; texto\; \{es\; un\; subgrupo\; de\}\; \backslash \; operatorname\; \{N\_G\}\; (K)$ entonces $HK\; del\; \backslash \; texto\; \{es\; un\; subgrupo\; de\}\; G\; \backslash ,$ K\; del$$
de \ $H\; del$
de HK del triangleleft \ casquillo K \
$HK/K\; \backslash \; cong\; h\; (H\; \backslash \; casquillo\; K)$ del triangleleft H

Tercer teorema del isomorfismo (también conocido como el segundo teorema del isomorfismo)

Si M y N son normal subgrupo de G tal que M es contenido en N, después M es normal subgrupo de N, N / M es normal subgrupo de G / M, y ()/(del G /del M el N / M ) está el isomorfo al G / N .

Si $M\; del,$ M\; del$$
de N \ del triangleleft G \ subseteq N entonces $M\; del\; \backslash$
$N/M\; del\; triangleleft\; N$ \ $triangleleft\; G/M$ (G/M)/(N/M) \ cong G/N

Esto es generalizada por el lema nueve a las categorías abelianas y mapas más generales entre los objetos.

Anillos y módulos

Los teoremas del isomorfismo son también válidos para los módulos sobre un fijo R del anillo (y por lo tanto también para los espacios de vector sobre un campo fijo ). Uno tiene que substituir el " del término; group" por el " R - module", " subgroup" y " subgroup" normal; por el " " del submódulo ;, y " group" del factor; por el " " del módulo del factor;.

Para los espacios de vector, el primer teorema del isomorfismo va por el nombre del teorema de la Alinear-nulidad.

Los teoremas del isomorfismo son también válidos para los anillos, homomorphisms del anillo y los ideales uno tienen que substituir el " del término; group" por el " ring", " subgroup" por el " subring" y " subgroup" normal; por el " ideal", y " group" del factor; por el " " del anillo de factor ;.

La notación para el ensambla en ambos estos casos es "   del H ; + " del K ; en vez de " " de HK del ;.

l que también necesitamos mencionar los teoremas del isomorfismo para los espacios de vector topológicos, álgebra etc. de Banach

General

Para generalizar esto a la álgebra universal, los subgrupos normales necesitan ser substituidos por las congruencias

Breve, si el A es una álgebra, una congruencia en el A es un $\backslash \; Phi$ de la relación de equivalencia en el A que es un subalgebra cuando está considerado como subconjunto del A x A (estes 3ultimo con la estructura coordinar-sabia de la operación). Uno puede hacer el sistema del $\backslash \; Phi$ del a de las clases de la equivalencia en una álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones vía representantes; esto estará bien definido puesto que el $\backslash \; Phi$ es un subalgebra del A x A .

Primer teorema del isomorfismo

Si el A y el B es álgebra, y el f es un homomorfismo A a el B, después el $\backslash \; Phi$ de la relación de equivalencia en el A definido por el del a~b del si y solamente si el f (a)=f de (b) es una congruencia en el A, y el $\backslash \; Phi$ del a de la álgebra es isomorfo a la imagen del f, que es un subalgebra del B .

Segundo teorema del isomorfismo

Dado un A de la álgebra, un B del subalgebra del A, y un $\backslash \; Phi$ de la congruencia en el A, dejamos el $\backslash \; Phi$ ser el subconjunto del $\backslash \; Phi$ del a determinado por todas las clases de la congruencia que contengan un elemento del B, y dejamos el $\backslash \; Phi\_B$ ser la intersección del $\backslash \; Phi$ (considerado como subconjunto del A x A ) con el B x B . Entonces el $\backslash \; Phi$ es un subalgebra del $\backslash \; Phi$ del a, el $\backslash \; Phi\_B$ es una congruencia en el B, y el $\backslash \; Phi$ de la álgebra es isomorfo al $\backslash \; Phi\_B$ del b de la álgebra.

Tercer teorema del isomorfismo

Dejar el A ser una álgebra, y dejar el $\backslash \; Phi$ y el $\backslash \; Psi$ ser dos relaciones de la congruencia en el A, con el $\backslash \; Psi$ contenido en el $\backslash \; Phi$. Entonces $\backslash \; Phi$ determina congruencia $\backslash \; Theta$ en a $\backslash \; Psi$ definido por ~ '' si y solamente si y b son equivalente modulo $\backslash \; Phi$ (donde '' representa la clase del $\backslash \; Psi$-equivalence de un ), y a $\backslash \; Phi$ es isomorfo a ($\backslash \; Theta$)/ $\backslash \; Psi$ de la a .

Zenithic

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