En las matemáticas, el teorema integral de Cauchy del en el análisis complejo, nombrado después Agustín Louis Cauchy, es una declaración importante sobre la línea integrales para las funciones olomorfas en el plano complejo . Esencialmente, dice que si dos diversas trayectorias conectan los mismos dos puntos, y una función es por todas partes " olomorfo; entre " las dos trayectorias, entonces los dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales.

El teorema se formula generalmente para las trayectorias cerradas como sigue: dejar el U ser un que el subconjunto abierto de C que es el simplemente conectado, dejó el f : &rarr del U ; El C sea una función olomorfa, y dejó γ ser una trayectoria rectificable en el U cuyo punto del comienzo es igual a su punto final. Entonces, $\backslash \; oint\_\; \backslash gammaf\; del$

l (z) \, DZ = 0.

Como fue demostrado por el Goursat, el teorema integral de Cauchy se puede probar si se asume que solamente eso el   derivado complejo del f ; '( z ) existe por todas partes en el U . Esto es significativo, porque uno puede entonces probar la fórmula integral de Cauchy para estas funciones, y aquélla puede deducir que estas funciones son de hecho el infinitamente diferenciable.

La condición que el U sea el simplemente conectado significa que el U no tiene ningún " holes" o, en los términos de Homotopy, que el grupo fundamental U es trivial; por ejemplo, cada disco abierto califica. La condición es crucial; considerar

$\backslash \; gamma\; (t)\; =\; e^\; \{él\}\; \backslash \; patio\; t\; \backslash \; en\; \backslash \; left$

cuál traza el círculo de unidad, y entonces el integral de la trayectoria

$\backslash \; oint\_\; \backslash \; gamma\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\; \backslash ,\; DZ\; =\; \backslash \; int\_0^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{ie^\; \{él\}\; \backslash \; sobre\}\; \backslash ,\; del\; e^\; \{él\}\; dt=\; \backslash \; int\_0^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; i\; \backslash ,\; despegue\; =\; 2\; \backslash \; pi\; i$

es diferente a cero; el teorema integral de Cauchy no se aplica aquí puesto que el f ( z ) = 1 z no se define (y ciertamente no olomorfo) en el z = 0.

Una consecuencia importante del teorema es que los integrales de la trayectoria de funciones olomorfas en dominios simplemente conectados se pueden computar en a familiar de la manera del teorema fundamental del cálculo verdadero : dejar el U ser un subconjunto abierto simplemente conectado del C, dejar el f : &rarr del U ; El C sea una función olomorfa, y dejó γ ser una trayectoria por trozos continuamente diferenciable en el U con el del punto del comienzo un b de y de la punto final. Si el F es un antiderivative complejo del f, entonces $\backslash \; int\_\; \backslash \; gamma\; f\; del$

l (z) \, dz=F (b) - F (a).

El teorema integral de Cauchy es válido en una forma levemente más fuerte que dado arriba. Suponer que el U es un subconjunto simplemente conectado abierto de C cuyo límite sea la imagen del &gamma rectificable de la trayectoria;. Si el f es una función que es olomorfa en el U y continuo en el encierro U, entonces $\backslash \; oint\_\; \backslash \; gamma\; f\; del$

l (z) \, dz=0.

El teorema integral de Cauchy lleva a la fórmula integral de Cauchy y al teorema del residuo.

Una generalización del verdadero-plano se puede hacer usar el alimentó el teorema :

$\backslash \; int\_\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; omega=\; \backslash \; int\_\; \{M\}\; d\; \backslash \; Omega\; de\; M\; \backslash ,$

se aplica a un abierto M del sistema en el n del ^{del R cuyo $del\; límite\; \backslash \; M$ parcial un múltiple liso. Si la forma es exacta así que = \ Omega del $el\; df\; y\; su\; parte\; radial\; en\; coordenadas\; polares\; diverge\; como$ \backslash \; el\; \_\; de\; Omega\; \{r\}\; =\; g\; (r)/r^\; \{n-1\},$que\; extrae\; un\; B\; de\; la\; bola\; del\; multíple\; M\; e\; integrando\; en\; el\; M\; \backslash \; el\; B,despuéshaciendo\; el\; radio\; de\; la\; bola\; tender\; a\; 0\; que\; conseguimos\; un\; resultado\; similar\; al\; teorema\; integral\; de\; Cauchy\; en\; el\; n$} del ^{del R en la forma: $del$}

l \ int_ {\ M parcial} \ = \ frac {^ de 2 \ pi {n/2} de Omega} {\ gamma (n/2)} g (0).

En la página 513 del " del libro; calculus" del vector; por Marsden-Tromba, el gauss aplica esta formulación al $tridimensional\; 1/r^\; \{2\}$ del campo gravitacional en una superficie arbitraria para dar un ejemplo de su teorema de la divergencia. ¡

Ver también

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