En el subcampo matemático del análisis numérico una tira cúbica de Hermite del, nombrado en honor Charles Hermite, es una tira del tercero-grado con cada polinómico de la tira en la forma de Hermite. La forma de Hermite consiste en dos puntos de control y dos tangentes del control para cada uno polinómico.

Para la interpolación en una rejilla con los puntos $x\_k$ para $k=1,\dots ,\; n$, interpolación se realiza en un $del\; subintervalo\; (x\_k,\; x\_\; \{k+1\})$ a la vez (dado que los valores de la tangente están predeterminados). Subintervalo $(x\_k,\; x\_\; \{k+1\})$ es normalizado a $(0.1)$ vía $t\; =\; ()/(del\; x-x\_k\; x\_\; \{k+1\}\; -\; x\_k)$.

Interpolación en un solo intervalo

$del\; intervalo\; de\; unidad\; (0.1)$

En el $del\; intervalo\; de\; unidad\; (0.1)$, dado un p ₀ del del punto de partida en $t=0$ y un p ₁ del del punto de conclusión en $t=1$ con comenzar el m ₀ del de la tangente en $t=0$ y la terminación del m ₁ del de la tangente en $t=1$, el polinomio se puede definir por el $del\; \backslash \; el\; boldsymbol\; \{p\}\; (t)\; =\; (2t^3-3t^2+1)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; \_0\; +\; (t^3-2t^2+t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{m\}\; \_0\; +\; (-\; 2t^3+3t^2)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; \_1\; +\; (t^3-t^2)\; \backslash \; boldsymbol\; \{m\}\; \_1$ donde ∈ 1.

¡Cuatro funciones de base de Hermite se pueden definir como $h\_\; del\; \{las\; 00\}\; (t)\; =\; 2t^3-3t^2+1\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ h\_\; del$$
de {10} (t) = t^3-2t^2+t \, \! ¡$h\_\; del$
de {01} (t) = -2t^3+3t^2 \, \! ¡$h\_\; del$
de {11} (t) = t^3-t^2 \, \! para dar el polinomio como el $\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; (t)\; =\; h\_\; \{00\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; del\; \_0\; +\; h\_\; \{10\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{m\}\; \_0\; +\; h\_\; \{01\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; \_1\; +\; h\_\; \{11\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{m\}\; \_1.$

Interpolación en el $(x\_k,\; x\_\; \{k+1\}$)

La interpolación de $x$ en el $del\; intervalo\; (x\_k,\; x\_\; \{k+1\})$ se puede ahora hacer con el $\backslash \; el\; boldsymbol\; \{p\}\; (t)\; =\; h\_\; \{00\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; del\; de\; la\; fórmula\; \_0\; +\; el\; h\_\; \{10\}\; (t)\; h\; \backslash \; el\; boldsymbol\; \{m\}\; \_0\; +\; el\; h\_\; \{01\}\; (t)\; \backslash \; boldsymbol\; \{p\}\; \_1\; +\; el\; h\_\; \{11\}\; (t)\; h\; \backslash \; el\; boldsymbol\; \{m\}\; \_1.$ con el $h\; =\; el\; x\_\; \{k+1\}\; -\; x\_k$ y $t\; =\; (x-x\_k)\; /h$. Observar que los valores de la tangente han sido escalados por $h$ comparado a la ecuación en el intervalo de unidad.

Unicidad

Los dos puntos de control y las tangentes especifican un polinomio del tercer grado, de que se pueden obtener por el procedimiento contorneado arriba. Dos polinomios distintos del tercero-grado que satisfacen las condiciones de límite dadas, diferenciarían solamente por un polinomio del tercero-grado que es cero y con el derivado cero en dos puntos distintos, y el único tal polinomio del tercero-grado es cero.

Interpolación de un conjunto de datos

Un conjunto de datos, $(x\_k,\; \backslash \; \_k\; del\; boldsymbol\; \{p\})$ para $k=1,\dots ,\; n$, puede ser interpolado aplicando el procedimiento antedicho en cada intervalo, donde las tangentes se eligen de una manera sensible, significando que las tangentes para los intervalos que comparten puntos finales son iguales. La curva interpolada entonces consiste en las tiras por trozos cúbicas de Hermite, y es global continuamente diferenciable en el $(x\_1,\; x\_n)$.

La opción de tangentes es non-unique, y hay varias opciones disponibles.

Diferencia finita

La opción más simple es la diferencia de tres puntos, no requiriendo longitudes del intervalo, el $del\; \backslash \; =\; constantes\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k+1\}\; del\; \_k\; del\; boldsymbol\; \{m\}\; -\; \backslash \; el\; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k\}\}\; \{2\; (x\_\; \{k+1\}\; -\; el\; x\_\; \{k\})\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k\}\; -\; \backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k-1\}\}\; \{2\; (x\_\; \{k\}\; -\; x\_\; \{k-1\})\}$ para los puntos internos $k=2,\dots ,\; n-1$, y diferencia unilateral en las puntos finales del conjunto de datos.

¡Tira cardinal directo a esta sección -->

cardinal tira es obtenido si

$\backslash \; boldsymbol\; \{m\}\; \_k\; =\; (1-c)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k+1\}\; -\; \backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k-1\}\}\; \{2\}$ se utiliza para calcular las tangentes. El parámetro $c$ es un parámetro de la tensión del que debe estar en el $del\; intervalo\; (0.\; En\; un\; cierto\; sentido,\; esto\; se\; puede\; interpretar\; como\; el\; "\; length"\; de\; la\; tangente.$ c=1$rendirá\; todas\; las\; tangentes\; cero,\; y$ c=0$rinde\; una\; tira\; Catmull-ROM.$

¡Tira Catmull-ROM

Para las tangentes elegidas para ser $del\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k+1\}\; del\; \_k\; del\; boldsymbol\; \{m\}\; -\; \backslash \; \_\; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k-1\}\}\; \{2\}$ se obtiene una tira de Catmull-ROM del, siendo un caso especial de una tira cardinal.

La curva se nombra después Edwin Catmull y de la ROM de Raphie. En los gráficos de computadora, las tiras Catmull-ROM se utilizan con frecuencia para conseguir el movimiento interpolado liso entre los marcos de la llave por ejemplo, la mayoría de las animaciones de la trayectoria de la cámara generadas de key-frames discretos se dirigen usar las tiras Catmull-ROM. Son populares principalmente para ser relativamente fáciles de computar, garantizar que cada posición dominante del marco será golpeada exactamente, y también garantizar que las tangentes de la curva generada son continuas sobre segmentos múltiples.

Tira de Kochanek-Bartels

considera también:

la tira de Kochanek-Bartels Una tira de Kochanek-Bartels es otra generalización en cómo elegir las tangentes dadas el _ del $\backslash \; del\; boldsymbol\; de\; los\; puntos\; de\; referencias\; \{p\}\; \{k-1\}$, el $\backslash \; el\; boldsymbol\; \{p\}\; \_k$ y el _ del $\backslash \; del\; boldsymbol\; \{p\}\; \{k+1\}$, con tres parámetros posibles, la tensión, el diagonal y un parámetro de la continuidad.

Interpolación cúbica monótona

considera también:

cúbico monótono de la interpolación Para un conjunto de datos que sea el monótono, la interpolación cúbica de la tira de Hermite con un de los sobre alternativas mencionadas, no garantizará la preservación del monotoneness de los datos, pero esto puede ser lograda ajustando las tangentes.

Interpolación en el intervalo de unidad sin los derivados

El dado p _-1, el p ₀, el p ₁ y el p ₂ como los valores que la función debe tomar encendido en -1, 0, 1 y 2, podemos escribir = \ frac 16 \ comienza del _x del $\backslash \; del\; mathrm\; del$

l {CINT} (p_ {- 1}, p_0, p_1, p_2) {pmatrix} - x (x-1) (x-2) \ \ 3 (x+1) (x-1) (x-2) \ \ -3 (x+1) x (x-2) \ \ (x+1) x (x-1) \ fin {pmatrix} \ cdot \ comienzan {p_ del pmatrix} {- 1} \ \ \ 0} \ \ p_1 del p_ {\ p_2 \ extremo {pmatrix}

donde está independiente el vector izquierdo del p .

Para derivar esto, recordar la discusión de la unicidad, y observar que las entradas en el vector izquierdo son los polinomios cúbicos que son cero a las tres de los puntos de muestreo e igualan a +1 en el cuarto.

Esta simplificación es relevante para la interpolación de Tricubic, donde una optimización le requiere computar el x de CINT _{dieciséis veces con el mismo x y diverso p .}

Ver también

Interpolación, una generalización de Bicubic a dos dimensiones
Interpolación de Hermite

.

Zenithic

Jennifer Pitts

Random links:

BBC por todo el mundo | Historia de los Estados Unidos (1849-1865) | F-función de Mayer | Rives | Owen Stanley