Topología (topos griegos, " del del ; lugar, " e insignias, " del ; study") es una rama de las matemáticas que son una extensión de la geometría . La topología comienza con una consideración de la naturaleza del espacio, investigando su estructura fina y su estructura global. Emplear de la topología la teoría determinada, en vista de ambos sistemas de puntos y de las familias de sistemas.
La topología del de la palabra se utiliza para el campo de estudio y para una familia de sistemas con ciertas características descritas más abajo que están utilizados para definir un espacio topológico . De importancia particular en el estudio de la topología son las funciones o los mapas que son Homeomorphisms del '. Informal, estas funciones se pueden pensar en mientras que los que estiren el espacio sin el rasgado de él aparte o pegar piezas distintas juntas.
Cuando la disciplina era primera haber fundado correctamente, hacia el final del siglo XIX, fue llamado del situs del geometria de (geometría latina l lugar) y del situs del análisis de (análisis latino l lugar). A partir de alrededor 1925 a 1975 era un área de crecimiento importante dentro de matemáticas.
La topología es una rama grande de las matemáticas que incluyen muchos subcampos . La división más básica dentro de la topología es del Punto-fijó la topología, que investiga los conceptos tales como la compacticidad, la conexión, y el countability ; topología algebraica del, que investiga los conceptos tales como el Homotopy y la homología ; y topología geométrica del, que estudia los múltiples y sus embeddings, incluyendo la teoría de nudo .
Ver también: Glosario de la topología para las definiciones de algunos de los términos usados en el espacio topológico de la topología y para un tratamiento más técnico del tema.
Historia
La rama de la topología ahora llamada de las matemáticas comenzó con la investigación de ciertas preguntas en geometría. documento 1736 de s de Euler Leonhard 'sobre los puentes siete del de Königsberg se mira como uno de los primeros resultados topológicos.
El " del término; topologie" fue introducido en alemán en 1847 por el listado de Juan Benedicto en el zur Topologie, und Ruprecht, Göttingen, págs. 67, 1848 de Vorstudien del de Vandenhoeck. Sin embargo, el enumerar había utilizado ya la palabra por diez años en correspondencia. " Topology", su forma inglesa, fue introducida en 1883 en el '' naturaleza '' del diario para distinguir el " geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la cual las relaciones cuantitativas son principalmente treated". El topologist del término en el sentido de un especialista en topología fue utilizado en 1905 en el espectador del compartimiento.
La topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría determinada, desarrolladas por el chantre de Jorge en la parte posterior del siglo XIX. El chantre, además de establecer las ideas básicas de la teoría determinada, consideraba sistemas del punto en el espacio euclidiano, como parte de su estudio de la serie de Fourier Del .
Análisis publicado Situs de Enrique Poincaré en 1895, introduciendo los conceptos de Homotopy y de homología, que ahora se consideran parte de topología algebraica.
El Mauricio Fréchet, unificando el trabajo sobre espacios de función del chantre, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli y otros, introdujo el espacio métrico en 1906. Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general. En 1914, el Felix Hausdorff acuñó el " del término; space" topológico; y dio la definición para qué ahora se llama un espacio de Hausdorff . En uso actual, un espacio topológico es una generalización leve de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por el Kazimierz Kuratowski .
Para otros progresos, ver que el Punto-fijó la topología y la topología algebraica .
Introducción elemental
Los espacios topológicos aparecen naturalmente en casi cada rama de las matemáticas. Esto ha hecho la topología una de las grandes ideas unifying de las matemáticas. topología general, o el Punto-fijó la topología, define y estudia características de espacios y de mapas tales como conexión, la compacticidad y el continuidad . la topología algebraica utiliza las estructuras de la álgebra, especialmente el grupo del extracto para estudiar espacios topológicos y los mapas entre ellos.La penetración de la motivación detrás de la topología es que algunos problemas geométricos dependen no de la forma exacta de los objetos implicados, pero algo en la manera que se ponen juntos. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas características en campo común: son ambos objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambo separados el plano en dos porciones, la pieza interior y la pieza afuera.
Uno de los primeros papeles en topología era la demostración, al lado de Leonhard Euler, que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (ahora Kaliningrad ) que cruzaría cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no dependió de las longitudes de los puentes, ni de su distancia a partir de la una otra, sino solamente de características de la conectividad: qué puentes están conectados con los cuales las islas o los riverbanks. Este problema, los puentes siete del de Königsberg, ahora es un problema famoso en matemáticas introductorias, y llevado a la rama de las matemáticas conocida como teoría de gráfico .
Semejantemente, el teorema melenudo de la bola de la topología algebraica dice ese " uno no puede peinar el pelo en una bola smooth." Este hecho es inmediatamente convincentemente a la mayoría de la gente, aunque puede ser que no reconozcan la declaración más formal del teorema, que no hay campo continuo nonvanishing del vector de la tangente en la esfera . Como con los puentes del de Königsberg, el resultado no depende de la forma exacta de la esfera; se aplica a las formas de la pera y de hecho a cualquier clase de gota (conforme a ciertas condiciones en la suavidad de la superficie), mientras no tenga ninguÌn agujero.
Para ocuparse de estos problemas que no confíen en la forma exacta de los objetos, uno debe estar claro sobre apenas qué características estos problemas que el hace confían en. De esta necesidad se presenta la noción de la equivalencia topológica del . La imposibilidad de cruzar cada puente apenas se aplica una vez a cualquier arreglo del equivalente de los puentes topológico a ésas en Königsberg, y el teorema melenudo de la bola se aplica a cualquier equivalente del espacio topológico a una esfera.
Intuitivo, dos espacios son topológico equivalente si uno se puede deformir en el otro sin el corte o el pegado. ¡Una broma tradicional es que un topologist no puede decir la taza de café fuera de la cual she está bebiendo del buñuelo que ella está comiendo, puesto que un buñuelo suficientemente flexible se podría formar de nuevo a la forma de una taza de café creando un hoyuelo y progresivamente agrandándolo, mientras que encoge el agujero en una manija. ¡
Un ejercicio introductorio simple es clasificar las letras minúsculas del alfabeto inglés según equivalencia topológica. (Las líneas de las letras se asumen para tener anchura diferente a cero.) En la mayoría de las fuentes en uso moderno, hay una clase {a, b, d, e, o, p, q} de letras con un agujero, una clase {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z} de letras sin un agujero, y una clase {i, j} de letras que consisten en dos pedazos. g puede o pertenecer en la clase con un agujero, o (en algunas fuentes) puede ser el único elemento de una clase de letras con dos agujeros, dependiendo de independientemente de si la cola es cerrada. Para un ejercicio más complicado, puede ser asumido que las líneas tienen anchura cero; uno puede conseguir varias diversas clasificaciones dependiendo de las cuales se utilice la fuente. La topología de la letra es de importancia práctica en tipografía de la plantilla: El fanfarrón de la fuente, por ejemplo, se puede cortar de un plano sin deshacerse.
Definición matemática
considera también:
l espacio topológico Dejar el X ser cualquier sistema y dejar el T del ser una familia de subconjuntos del X . Entonces el T del es una topología en el X si
el sistema vacío y el X es elementos del T del .
Si el T del es una topología en el X, después el X junto con el T del se llama un espacio topológico .
Todos los sistemas en el T del se llaman el abierto ; observar que no todos los subconjuntos del X están en el T del . Un subconjunto del X reputa cerrado si su complemento está en el T (es decir, del es el abierto). Un subconjunto del X puede ser abierto, cerrado, ambos, o ni uno ni otro.
Una función o el mapa a partir de un espacio topológico a otro se llama el continuo si la imagen inversa de cualesquiera sistema abierto está abierta. Si la función traza los números verdaderos a los números verdaderos (ambos espacio con la topología estándar), después esta definición de continuo es equivalente a la definición de continuo en el cálculo . Si una función continua es el uno por y sobre y si lo contrario de la función es también continuo, después la función se llama un homeomorfismo y el dominio de la función reputa homeomórfico a la gama. Otra manera de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomórficos, tienen características topológicas idénticas, y se consideran para ser topológico iguales. El cubo y la esfera son homeomórficos, al igual que la taza de café y el buñuelo. Pero el círculo no es homeomórfico al buñuelo.
Algunos teoremas en topología general
Cada intervalo cerrado en el R de la longitud finita es el compacto. Más es verdad: En el R n, un sistema es compacto si y solamente si es cerrado y limitado. (Véase el teorema de Heine-Borel).Cada imagen continua de un espacio del acuerdo es compacta.
Teorema de Tychonoff: El producto (arbitrario) de espacios compactos es compacto.
Un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.
Cada secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene un subsequence convergente.
Cada intervalo en el R es conectado .
La imagen continua de un espacio conectado está conectada.
Un espacio métrico es Hausdorff, también normal y Paracompact .
Los teoremas de Metrization preven las condiciones necesarias y suficientes una topología para venir de un métrico.
El teorema de la extensión de Tietze: En un espacio normal, cada función con valores reales continua definida en un subespacio cerrado se puede ampliar en general a un espacio definido mapa continuo.
El teorema de la categoría de Baire: Si el X es un espacio métrico completo o un localmente condensa el espacio de Hausdorff, después el interior de cada unión contable muchos sistemas densos en ninguna parte de es vacío.
En un espacio de Paracompact Hausdorff cada cubierta abierta admite una partición del subordinado de la unidad a la cubierta.
Cada trayectoria-conectó, localmente trayectoria-conectado y el espacio simplemente conectado de Semi-locally tiene una cubierta universal .
La topología general también tiene algunas conexiones asombrosamente a otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo:
en gran número la teoría, prueba de Furstenberg de la infinidad de prepara .
Algunas nociones útiles de la topología algebraica
Ver también la lista de los asuntos algebraicos de la topología.Homología y Cohomology : El Betti numera el Euler de característico.
usos Intuitivo-atractivos: Teorema de punto fijo, teorema melenudo, teorema, teorema de Brouwer de la bola de Borsuk-Ulam del emparedado de jamón.
Grupos de Homotopy (grupo fundamental incluyendo ).
El Chern clasifica las clases de Pontryagin de las clases de Stiefel-Whitney del