La topología algebraica es una rama de las matemáticas en la cual las herramientas de la álgebra del extracto se utilizan para estudiar los espacios topológicos

El método de invariants algebraicos

La meta es tomar espacios topológicos y más lejos categorizarlos o clasificar. Un más viejo nombre para el tema era la topología combinatoria, implicando un énfasis en cómo un espacio X fue construido los más simples (la herramienta estándar moderna para tal construcción es el CW-complejo). El método básico ahora se aplicó en topología algebraica es investigar espacios vía invariants algebraicos, trazándolos, por ejemplo, a los grupos que tienen mucha de estructura manejable en una manera que respete la relación del homeomorfismo de espacios. Esto permite que uno modifique declaraciones sobre espacios topológicos en declaraciones sobre los grupos, que son a menudo más fáciles de probar.

Dos maneras importantes de las cuales esto puede ser hecha están con los grupos fundamentales o más generalmente la teoría de Homotopy, y a través de la homología y de los grupos de Cohomology . Los grupos fundamentales nos dan la información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero son a menudo el nonabelian y pueden ser difíciles de trabajar con. El grupo fundamental de (finito) Simplicial complejo de a tiene una presentación finita .

Los grupos de la homología y del cohomology, por una parte, son el abeliano y en muchos casos importantes finito generados. Los grupos abelianos finito generados se clasifican y son totalmente particularmente fáciles de trabajar con.

Resultados en la homología

Varios resultados útiles siguen inmediatamente del trabajo con los grupos abelianos finito generados. La fila libre del n - grupo de la homología del th de un complejo simplicial es igual al n - el número de Betti del th, así que una pueden utilizar los grupos de la homología de un complejo simplicial para calcular su Euler-Poincaré característico. Como otro ejemplo, el grupo integral tapa-dimensional de la homología de un múltiple cerrado detecta el orientability : este grupo es isomorfo a los números enteros o a 0, según como el múltiple es orientable o no. Así, mucha de información topológica se codifica en la homología de un espacio topológico dado.

Más allá de la homología simplicial, que se define solamente para los complejos simplicial, uno puede utilizar la estructura diferenciada de los múltiples lisos vía el cohomology de De Rham, o el cohomology de la gavilla de Čech o para investigar la solubilidad de las ecuaciones diferenciales definida en el múltiple en la pregunta. El De Rham demostró que todos estos acercamientos fueron correlacionados y que, para un múltiple cerrado, orientado, los números de Betti derivados con la homología simplicial era los mismos números de Betti que ésos derivaron con el cohomology de Rham.

Determinación en teoría de la categoría

Todas las construcciones de la topología algebraica son generalmente el functorial: las nociones de la categoría, Functor y de la transformación natural originaron aquí. Los grupos, la homología y los grupos fundamentales del cohomology son no sólo los invariants espacio topológico subyacente, en el sentido que dos espacios topológicos que son el homeomórfico tienen los mismos grupos asociados; un trazado continuo de espacios induce un homomorfismo del grupo en los grupos asociados, y estos homomorphisms se pueden utilizar para demostrar no existencia (o, mucho más profundamente, existencia) de mappings.

Usos de la topología algebraica

Los usos clásicos de la topología algebraica incluyen:
El teorema del punto fijo de Brouwer: cada mapa continuo del n de la unidad - el disco a sí mismo tiene un punto fijo.
El n - la esfera admite un campo de vector continuo en ninguna parte-vanishing de la unidad si y solamente si el n es impar. ( n =2, éste a veces se pide el " " melenudo del teorema de la bola;.)
El teorema de Borsuk-Ulam: cualquier mapa continuo del n - esfera al euclidiano n - espacio identifica por lo menos un par de puntos antípodas.
Cualquier subgrupo de un grupo libre está libre. Este resultado es absolutamente interesante, porque la declaración es puramente algebraica con todo la prueba más simple es topológica. A saber, cualquier libre G del grupo se puede observar como el grupo fundamental de un X del gráfico . El teorema principal en los espacios de la cubierta nos dice que cada H del subgrupo del G es el grupo fundamental de un cierto Y del espacio de la cubierta del X ; pero cada tal Y es otra vez un gráfico. Por lo tanto su fundamental H del grupo está libre.

Ver también

Publicaciones importantes en la topología algebraica
Operads

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Zenithic

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