En la topología y las áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio del producto del es el producto de cartesiano de una familia de los espacios topológicos equipada de una topología natural llamada la topología del producto del . Esta topología diferencia de otra, quizás más obvio, topología llamada la topología de la caja, que se pueden también dar a un espacio del producto y que conviene con la topología del producto cuando el producto está sobre solamente finito muchos espacios. Sin embargo, la topología del producto es " correct" en que hace que el producto espacia una retirada de sus factores, mientras que la topología de la caja es el demasiado fino; éste es el sentido en el cual la topología del producto es " natural".

Definición

Dejar el I ser el sistema de índice de a (posiblemente infinita) y suponer el X_i es un espacio topológico para cada i en el I . Fijar el X = Π X_i, el producto de cartesiano del X_i de los sistemas. Para cada i en el I, tenemos un canónico p_i de la proyección : &rarr del X ; X_i . La topología del producto del en el X se define para ser la topología más gruesa (es decir la topología con los pocos sistemas abiertos) para la cual todo el p_i de las proyecciones es el continuo. La topología del producto a veces se llama la topología de Tychonoff del .

Explícitamente, la topología del producto en el X se puede describir como la topología generada por los sistemas del ^{&minus del p_i de la forma; 1} ( U ), donde está un subconjunto el i en el I y el U abierto del X_i . Es decir los sistemas {^{&minus del p_i ; 1} ( U )} formar una base inferior para la topología en el X . Un subconjunto X está abierto si y solamente si es una unión (posiblemente infinitamente de las intersecciones muchos) finito de muchos sistemas del ^{&minus del p_i de la forma; 1} ( U ). El ^{&minus del p_i ; 1} ( U ) a veces se llaman el los cilindros abiertos y sus intersecciones son los sistemas del cilindro

Podemos describir una base para la topología del producto usar bases del X_i de los espacios que constituye. Una base consiste en el $\backslash \; el\; golpecito\; U\_i$ de los sistemas, donde para el cofinitely está básicos el i de muchos (todos sino finito muchos), el $U\_i\; =\; X\_i$ (es el espacio entero), y de otra manera él abren el sistema de $X\_i$.

Particularmente, para un producto finito (particularmente, para el producto de dos espacios topológicos), los productos de los elementos bajos del X_i dan una base para el $\backslash \; el\; golpecito\; X\_i$ del producto.

El producto de las topologías de cada X_i forma generalmente una base para qué se llama la topología de la caja en el X . La topología de la caja es generalmente el un más fino que la topología del producto, pero para los productos finitos coinciden.

Ejemplos

Si uno comienza con la topología estándar en la línea verdadera R del y define una topología en el producto de las copias del n del R de este modo, uno obtiene la topología euclidiana ordinario en el n del ^{del R .}

El chantre determinado es el homeomórfico al producto contable muchas copias de del espacio discreto {0.1} y el espacio de los números irracionales es homeomórfico al producto contable de muchas copias de los números naturales donde cada copia lleva otra vez la topología discreta.

Varios ejemplos adicionales se dan en el artículo sobre la topología de la inicial.

Características

El X del espacio del producto, junto con las proyecciones canónicas, se puede caracterizar por la característica universal siguiente: Si el Y es un espacio topológico, y para cada i en el I, el f_i : &rarr del Y ; El X_i es un mapa continuo, después existe exacto un continuo f del mapa de : &rarr del Y ; X tales que para cada i en el I el siguiente del diagrama conmuta : Esto demuestra que el espacio del producto es un producto en la categoría de los espacios topológicos . Si sigue de la característica universal antedicha esa un f del mapa: &rarr del Y ; El X es el continuo f_i del Iff = el f del p_i o es continuo para todo el i en el I . En muchos casos es a menudo más fácil comprobar que el f_i de las funciones del componente es continuo. Comprobando si un g del mapa: &rarr del X ; El Z es continuo es generalmente más difícil; uno intenta utilizar el hecho de que el p_i es continuo de cierta manera.

Además de ser continuo, el canónico p_i de las proyecciones: &rarr del X ; El X_i es los mapas abiertos que éste significa que cualquiera abre el subconjunto del espacio del producto sigue siendo abierto cuando están proyectada abajo al X_i . El inverso no es verdad: si el W es un subespacio del espacio del producto cuyas proyecciones abajo a todo el X_i estar abierto, después el W no necesita estar abierto en el X . (Considerar por ejemplo el W = el R ² \ (0.) Las proyecciones canónicas no son generalmente los mapas cerrados (considerar por ejemplo el $cerrado\; delsistema\backslash \; \{(x,\; y)\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^2\; \backslash \; mediados\; de\; =\; 1\; xy\; \backslash \},$ cuyas proyecciones sobre ambas hachas sean el R \ {0}).

La topología del producto también se llama la topología del de la convergencia del pointwise debido a el hecho siguiente: una secuencia (o el neto) en el X converge si y solamente si convergen todas sus proyecciones al i del _{del X de los espacios. Particularmente, si uno considera el X del espacio = el I del ^{del R de todas las funciones valoradas verdaderas en el I, la convergencia en la topología del producto es igual que la convergencia del pointwise de funciones.}}

Cualquier producto de subconjuntos cerrados del X_i es un sistema cerrado en el X .

Un teorema importante sobre la topología del producto es el teorema de Tychonoff: cualquier producto de los espacios del acuerdo es compacto. Esto es fácil de demostrar para los productos finitos, mientras que la declaración general es equivalente al axioma de la opción .

Relación a otras nociones topológicas

Separación Cada producto de los espacios T₀ es T₀
Cada producto de los espacios T₁ es T₁
Cada producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff
Cada producto de los espacios regulares es regular
Cada producto de los espacios de Tychonoff es Tychonoff
Un producto de los espacios normales que el de no necesita sea normal
Compacticidad Cada producto de espacios compactos es compacto (el teorema de Tychonoff)
Un producto localmente condensa espacios que el de no necesita sea localmente compacto
Conexión Cada producto de los espacios conectados (respectivamente trayectoria-conectado) está conectado (respectivamente trayectoria-conectado)
Cada producto de espacios hereditario desconectados se desconecta hereditario.

Un mapa que " localmente mira el like" × canónicos del F un de la proyección; &rarr del U ; El U se llama un paquete de fibra .

Axioma de la opción

El axioma de la opción es equivalente a la declaración que el producto de una colección no vacía de sistemas no vacíos es no vacío. La prueba es bastante fácil: uno necesita escoger solamente un elemento de cada sistema para encontrar un representante en el producto. Inversamente, un representante del producto es un sistema que contiene exactamente un elemento de cada componente.

El axioma de la opción ocurre más generalmente en espacios del producto; por ejemplo, el teorema de Tychonoff en sistemas compactos es un ejemplo más complejo y más sutil de una declaración que sea equivalente al axioma de la opción.

Ver también

El desune la unión (topología)
Espacio de cociente
Subespacio (topología)
Ultraproduct

.

Zenithic

Coruscant

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