De la topología general y de las áreas relacionadas de las matemáticas, la topología final (topología inductiva o topología fuerte del ) en un determinado $X$, con respecto a una familia de funciones en $X$, es la topología más fina en el X que hace ésos el de las funciones continuo.

Definición

Dado un sistema $X$ y una familia de los espacios topológicos $Y\_i$ con $f\_i\; del\; de\; las\; funciones:\; Y\_i\; \backslash \; a\; X$ el $final\; \backslash \; tau$ de la topología en $X$ es la topología más fina tales que cada $f\_i\; del\; :\; Y\_i\; \backslash \; (,\; \backslash \; tau\; de\; X)\; a$ es el continuo.

Explícitamente, la topología final puede ser descrita como sigue: un U del subconjunto del X es abierto si y solamente si el $f\_i^\; de\; \{-\; 1\}\; (U)$ está abierto en el i del _{del Y para cada &isin del i ; I .}

Ejemplos

la topología del cociente es la topología final en el espacio de cociente con respecto al mapa del cociente.
El desune la unión es la topología final con respecto a la familia de las inyecciones canónicas
Más generalmente, un espacio topológico es el coherente con una familia de subespacios si hace la topología final coinduced por los mapas de la inclusión.
El límite directo de cualquier dirige el sistema de espacios y los mapas continuos son el límite directo fijar-teórico junto con la topología final determinada por los morphisms canónicos.
Dado una familia de las topologías {τ i del _{} en un fijo X del sistema la topología final en el X con respecto al X} del id _{de las funciones: ( X, τ &rarr del i} del _{); El X es el Infimum (o reunión) de las topologías {τ i} del _{} en el enrejado de las topologías en el X . Es decir, el &tau final de la topología; es la intersección de las topologías {τ i} del _}.

Características

Un subconjunto de $X$ es cerrado si y solamente si su preimage bajo i del _{del f se cierra en $Y\_i$ para cada &isin del i ; I .}

La topología final en el X se puede caracterizar por la característica universal siguiente: una función $g$ de $X$ a un cierto espacio $Z$ es continua si y solamente si el $g\; \backslash \; el\; circ\; f\_i$ es continuos para cada &isin del i ; I .

Por la característica universal desunir la topología de la unión que sabemos que dado cualquie familia del continuo i del _{del f de los mapas: &rarr del i} del _{del Y ; El X allí es un $f\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; un\; coprod\_i\; continuos\; únicos\; Y\_i\; del\; del\; mapa\; \backslash \; a\; X$ Si la familia de del i} del _{del f de los mapas cubre el X de (es decir cada x en el X miente en la imagen de un cierto i} del _{del f ) entonces que el f del mapa será un mapa del cociente si y solamente si el X tiene la topología final determinada por el i} del _{del f de los mapas.}

Descripción categórica

En la lengua de la teoría de la categoría, la construcción final de la topología se puede describir como sigue. Dejar el Y ser un Functor de un discreto J de la categoría a la categoría de tapa de los espacios topológicos que seleccione el i del _{del Y de los espacios para el i en el J . Dejar el Δ ser el functor diagonal de la tapa al J del ^{de la tapa de la categoría de Functor (este functor envía cada X del espacio al functor constante al X ). La categoría (&darr de la coma Y ; Δ) es entonces la categoría de los conos del Y, es decir se opone adentro (&darr del Y ; Δ) están los pares ( X, f ) donde el i}} del _{del f : &rarr del i} del _{del Y ; El X es una familia de mapas continuos al X . Si el U es el functor olvidadizo de la tapa al determinado y al Δ ′ está el functor diagonal del determinado al determinado J del ^{del entonces la categoría de la coma (&darr de UY del ; Δ ′) es la categoría de todos los conos del UY . La construcción final de la topología se puede entonces describir como functor de (&darr de UY del ; Δ ′) a (&darr del Y ; Δ). Este functor es el adjoint dejado al functor olvidadizo correspondiente.}}

Ver también

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