De la topología general y de las áreas relacionadas de las matemáticas, la topología (topología descriptiva o topología débil de la inicial del del ) en un determinado $X$, con respecto a una familia de funciones en $X$, es la topología más gruesa en el X que hace ésos el de las funciones continuo.

La topología del subespacio y las construcciones de la topología del producto son ambos casos especiales de topologías iniciales. De hecho, la construcción inicial de la topología se puede ver como generalización de éstos.

La construcción dual se llama la topología final .

Definición

Dado un X del sistema y un puso en un índice &isin del i del _{de la familia ( i} del _{del Y ); I} de los espacios topológicos con $f\_i\; del\; de\; las\; funciones:\; X\; \backslash \; a\; Y\_i$ el &tau inicial de la topología; en $X$ está la topología más gruesa en el X tales que cada $f\_i\; del\; :\; ()\; \backslash ,\; \backslash \; Tau\; de\; X\; a\; Y\_i$ es el continuo.

Explícitamente, la topología inicial se puede describir como el de la topología generado por los sistemas de del $f\_i^\; de\; la\; forma\; \{-\; 1\}\; (U)$, donde está un sistema $U$ abierto en $Y\_i$. El $f\_i^\; de\; los\; sistemas\; \{-\; 1\}\; (U)$ se llama a menudo los sistemas del cilindro

Ejemplos

Varias construcciones topológicas se pueden mirar como casos especiales de la topología inicial.
La topología del subespacio es la topología inicial en el subespacio con respecto al mapa de la inclusión.
La topología del producto es la topología inicial con respecto a la familia de los mapas de la proyección
El límite inverso de cualquier sistema inverso de espacios y de mapas continuos es el límite inverso fijar-teórico junto con la topología inicial determinada por los morphisms canónicos.
La topología débil en un espacio de cuerpo localmente es la topología inicial con respecto a las formas lineares continuas de su espacio dual .
Dado una familia de las topologías {τ i del _{} en un fijo X del sistema la topología inicial en el X con respecto al X} del id _{de las funciones: &rarr del X ; ( X, τ el i} del _{) es el Supremum (o ensamblar) de las topologías {τ i} del _{} en el enrejado de las topologías en el X . Es decir, el &tau inicial de la topología; es la topología generada por la unión de las topologías {τ i} del _{}.
Un espacio topológico es el totalmente regular si y solamente si tiene la topología inicial con respecto a su familia ( limitado ) de funciones continuas con valores reales.
Cada X del espacio topológico tiene la topología inicial con respecto a la familia de funciones continuas del X al espacio de Sierpiński.}

Características

Característica característica

La topología inicial en el X se puede caracterizar por la característica universal siguiente: una función $g$ de un cierto espacio $Z$ a $X$ es continua si y solamente si el $f\_i\; \backslash \; el\; circ\; g$ es continuos para cada &isin del i ; I .

Evaluación

Al lado de la característica universal de la topología del producto sabemos que cualquie familia del continuo i del _{del f de los mapas: &rarr del X ; El i} del _{del Y determina un $f\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; continuos\; únicos\; X\; \backslash \; \backslash \; prod\_i\; Y\_i\; del\; del\; mapa\; \backslash ,$ Este mapa se conoce como el mapa de la evaluación del .}

Una familia de mapas { i del _{del f : &rarr del X ; El i} del _{del Y } se dice a los puntos separados en el X si para todo el &ne del x ; el y en el X allí existe un cierto i tales que &ne del i} ( x ) del _{del f ; i} ( y ) del _{del f . Claramente, la familia { i} del _{del f } separa puntos si y solamente si el asociado f del mapa de la evaluación es el inyectivo.}

El f del mapa de la evaluación será un de encajadura topológico si y solamente si el X tiene la topología inicial determinada por los mapas { i del _{del f } y esta familia de mapas separa puntos en el X .}

Separación de puntos de sistemas cerrados

Si viene un X del espacio equipado de una topología, es a menudo útil saber independientemente de si la topología en el X es la topología inicial inducida por alguna familia de mapas en el X . Esta sección da una condición suficiente (pero no necesaria).

Una familia de mapas { i del _{del f : &rarr del X ; El del i} del _{del Y } separa puntos de los sistemas cerrados en el X si para todo el el cerrado A de los sistemas en el X y todo el x no en el A, allí existe un cierto i tales que $f\_i\; del\; (x)\; \backslash \; notin\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; (f\_i\; (A))$ donde cl del que denota al operador del encierro. Una familia de mapas continuos { i} del _{del f : &rarr del X ; El i} del _{del Y } separa puntos de sistemas cerrados si y solamente si el cilindro fija el $f\_i^\; \{-\; 1\}\; (U)$, porque el U se abre en el Y i, forma una base para la topología en el X .}

Sigue que siempre que {el i del _{del f } separe puntos de sistemas cerrados, el X del espacio tiene la topología inicial inducida por los mapas { i} del _{del f }. Los fall inversos, puesto que los sistemas del cilindro formarán generalmente solamente una base inferior (y no una base) para la topología inicial.}

Si el X del espacio es un espacio T₁, después cualquie colección de mapas { f _i} que los puntos separados de sistemas cerrados en el X deben también separar puntos. En este caso, el mapa de la evaluación será una encajadura.

Descripción categórica

En la lengua de la teoría de la categoría, la construcción inicial de la topología se puede describir como sigue. Dejar el Y ser el Functor de un discreto J de la categoría a la categoría de tapa de los espacios topológicos que seleccione el j del _{del Y de los espacios para el j en el J . Dejar el U ser el functor olvidadizo generalmente de la tapa a fijado . Los mapas { j} del _{del f } se pueden entonces pensar en como cono X al UY . Es decir, ( X, f ) está un objeto del &mdash del cono ( UY ); la categoría de los conos al UY .}

La característica característica de la topología inicial es equivalente a la declaración que existe un morphism universal del &prime olvidadizo del U del del functor; : &rarr del cono ( Y ); Cono ( UY ) al cono ( X, f ). Poniendo la topología inicial en el X por lo tanto obtenemos un I del del functor: &rarr del cono ( UY ); Cono ( Y ) cuál es el adjoint correcto al &prime olvidadizo del U del functor;. De hecho, el I es un derecho-inverso al &prime del U ; desde &prime del U ; El I es el functor de la identidad en el cono ( UY ).

Ver también

.