En las matemáticas, topos (" plural de un ; topoi" o " toposes") es un tipo de categoría que se comporte como la categoría de las gavillas de los sistemas en un espacio topológico . Para una discusión de la historia de la teoría de los topos, ver fondo del artículo y génesis de la teoría de los topos.

Topoi de Grothendieck (topoi en geometría)

Desde la introducción de gavillas en matemáticas en los años 40. el tema principal ha sido estudiar un espacio estudiando las gavillas en ese espacio. Esta idea fue expuesta por el Alexander Grothendieck introduciendo la noción de los topos de un . La utilidad principal de esta noción es en la abundancia de situaciones en matemáticas donde está muy eficaz la intuición topológica pero un espacio topológico honesto está careciendo; es a veces posible encontrar los topos que formalizan la intuición. El solo éxito más grande de esta idea programática hasta la fecha ha sido la introducción de los topos del étale de un esquema .

Formulaciones equivalentes

Dejar el C ser una categoría. Un teorema Giraud indica que los siguientes son equivalentes:

allí es un pequeño D de la categoría y un $\backslash \; hookrightarrow$ Presh ( D ) del C de la inclusión que admite un dejado el adjoint .
El C es la categoría de gavillas en un sitio de Grothendieck.
El C satisface los axiomas de Giraud, abajo.

Una categoría con estas características se llama un " Topos" (de Grothendieck);. Aquí Presh ( D ) denota la categoría de functors contravariant del D a la categoría de sistemas; un functor tan contravariant con frecuencia se llama un presheaf .

Axiomas de Giraud

Los axiomas de Giraud para un C de la categoría son:
el C del

tiene un pequeño sistema de los generadores y admite todo el pequeño Colimits además, los colimits conmuta con el cambio bajo.
Las sumas en el C son desunen. Es decir el producto de la fibra X y del Y sobre su suma es el objeto inicial en el C .
Todas las relaciones de equivalencia en el C son eficaces.

El axioma pasado necesita la mayoría de la explicación. Si el X es un objeto del C, un R de la relación de equivalencia en el X es un X del × del X del → del R del mapa en el C tales que todo el ×Hom del →Hom de Hom de los mapas ( Y, R ) ( Y, X ) ( Y, X ) es relaciones de equivalencia de sistemas. Puesto que el C tiene colimits podemos formar el coequalizer dos del X del → del R de los mapas; llamar este X / R . La relación de equivalencia es eficaz si el mapa canónico ¡$R\; del$

l \ a X \ al times_ {X/R} X \, \!

es un isomorfismo.

Ejemplos

El teorema de Giraud da ya el " gavillas en sites" como lista completa de ejemplos. Nota, sin embargo, que los sitios desiguales dan a menudo subida al topoi equivalente. Según lo indicado en la introducción, las gavillas en espacios topológicos ordinarios motivan muchos de las definiciones y de los resultados básicos de la teoría de los topos.

La categoría de sistemas es un caso especial importante: desempeña el papel de un punto en teoría de los topos. De hecho, un sistema se puede pensar en como gavilla en un punto.

Ejemplos más exóticos, y el d'être del raison del de la teoría de los topos, vienen de geometría algebraica. A un esquema e incluso a un apilado uno puede asociar los topos del étale un, topos de Fppf un, topos de Nisnevich un …

Contraejemplos

La teoría de Topos es, en un cierto sentido, una generalización de clásico punto-fijó topología. Uno debe por lo tanto esperar ver viejos y nuevos casos del comportamiento patológico . Por ejemplo, hay un ejemplo debido al Pedro Deligne del los topos no triviales que no tiene ningún punto.

Morphisms geométricos

Si el X y el Y son topoi, un geométrico u del morphism del : &rarr del X ; El Y es un par de functors del adjoint (^{&lowast del u ;} , _{&lowast del u ;} ) tales que ^{&lowast del u ;} preserva límites finitos. Observar ese ^{&lowast del u ;} preserva automáticamente colimits en virtud de tener un adjoint correcto.

Si el X y el Y son espacios topológicos y el u es un mapa continuo entre ellos, entonces la retirada y las operaciones del pushforward en las gavillas rendir un morphism geométrico entre el topoi asociado.

Puntos del topoi

Un punto de un X de los topos es un morphism geométrico de los topos de sistemas al X .

Si el X es un espacio ordinario y el x es un punto del X, después el functor que lleva un F de la gavilla su F_x del tallo tiene un adjoint correcto (el " sheaf" del rascacielos; el functor), así que un punto ordinario del X también determina un punto topos-teórico.

Topoi anillado

Los topos anillados de un son un de los pares (X, R), donde está el X los topos y el R es un objeto del anillo comutativo en el X . La mayor parte de las construcciones de los espacios anillados van a través para el topoi anillado. La categoría del R - los objetos del módulo en el X son una categoría abeliana con bastantes injectives. Una categoría abeliana más útil es la subcategoría del cuasi-coherente R - módulos: éstos son el R - los módulos que admiten una presentación.

Otra clase importante de topoi anillado, además de espacios anillados, es el topoi del etale de los apilados de Deligne-Mumford.

Teoría de Homotopy del topoi

El Michael Artin y el Barry Mazur asociaron a cualquier topos un Favorable-simplicial sistema . Usar este sistema inverso de los sistemas simplicial uno puede el asociado del a veces a un invariante homotopy en topología clásica un sistema inverso de invariants en teoría de los topos.

El favorable-simplicial sistema se asoció a los topos del etale de un esquema es un sistema simplicial favorable-finito . Su estudio se llama la teoría homotopy del étale.

Topoi elemental (topoi en lógica)

Introducción

Una fundación de las matemáticas axiomática tradicional es la teoría determinada, en la cual todos los objetos matemáticos son representados en última instancia por los sistemas (incluso el funciona que tracen entre los sistemas). Un trabajo más reciente en la teoría de la categoría permite que esta fundación sea generalizada usar topoi; cada los topos definen totalmente su propio marco matemático. La categoría de sistemas forma topos familiares, y trabajando dentro de este los topos son equivalentes a usar matemáticas teóricas del sistema tradicional. Pero uno podía en lugar de otro elegir trabajar con muchos topoi alternativo. Una formulación estándar del axioma de la opción tiene sentido en cualquier topos, y hay el topoi en el cual es inválido. Los Constructivists estarán interesados trabajar en topos sin la ley del medio excluido. Si la simetría bajo particular G del grupo es de importancia, una puede utilizar los topos que consisten en todos los sistemas '' G '' -.

Es también posible codificar una teoría algebraica, tal como la teoría de los grupos como los topos. Los modelos individuales de la teoría, es decir los grupos en nuestro ejemplo, entonces corresponden al Functors de los topos de la codificación a la categoría de sistemas que respeten la estructura de los topos.

Definición formal

Cuando están utilizados para el trabajo fundacional los topos serán definidos axiomático; fijar la teoría entonces se trata como caso especial de la teoría de los topos. El edificio de la teoría de la categoría, allí es definiciones equivalentes del múltiplo del los topos. Lo que sigue tiene la virtud de ser sucinto, si no iluminando:

Los topos son una categoría que tiene las dos características siguientes:
Todas las categorías finitas asumidas el control del índice de los límites existen.
Cada objeto tiene un objeto de la energía.

Éste puede derivar ese
Todas las categorías finitas asumidas el control del índice de los colimits existen.
La categoría tiene un clasificador de Subobject.
Cualquier dos objetos tienen un objeto exponencial .
La categoría es el cerrado cartesiano.

En muchos usos, el papel del clasificador del subobject es giratorio, mientras que no son los objetos de la energía. Así algunas definiciones invierten el papeles se define de qué y se deriva de qué.

Explicación

Según lo observado arriba, los topos son un C de la categoría que tiene todos los límites finitos y por lo tanto particularmente el objeto vacío 1. del límite o del final. Es entonces natural tratar los morphisms del x de la forma: 1 → X como &isin del x de los elementos del ; X . f de Morphisms: &rarr del X ; El Y entonces corresponde a las funciones que trazan cada &isin del x del elemento; X al &isin del fx elemento; El Y, con la advertencia que dos o más morphisms pueden corresponder a la misma función, es decir, nosotros no puede asumir que el C (1 del functor, -): &rarr del C ; El determinado es fiel. Puesto que puede solamente haber un morphism al dominio de un elemento, los elementos son siempre monics.

También se observa arriba que los topos tienen un clasificador Ω, un objeto de Subobject C que incorpora un &isin del t del elemento (y por lo tanto monic); Ω, el subobject genérico del, con la característica ese cada monic m : &rarr de X'; El X se presenta como retirada del subobject genérico a lo largo de un único f del morphism: &rarr del X ; Ω, según el cuadro 1.

Pero la retirada de un monic es una monic, de dónde cada retirada del monic t a lo largo del f : &rarr del X ; Ω es un monic. ¡Entonces tenemos un bijection entre las retiradas del monic t con el X del codomain y del monics al X, el borde izquierdo! siendo el morphism único a 1. Éste es el sentido en el cual Ω es un clasificador del subobject: clasifica implícito cada monic m según su asociado f, y el monics asociado así a un dado f constituye un subobject del X .

Cuando el C (1, -) es fiel, es decir el C es el concreto, el m del monics: &rarr de X'; El X es exactamente las inyecciones de X' al X, con cada tal m induciendo el subconjunto {MX del | &isin del x ; X' } del X . El monics que induce dado tal subconjunto es exactamente ésos que abarcan un subobject del X . Al mismo tiempo el característico f de los morphisms: &rarr del X ; Ω se convierten en funciones características, con ^{&minus del f ; 1} ( t ) que denota el sistema esos de &isin del x de los elementos; X para el cual fx del = t . La correspondencia entre los subobjects y las funciones características establecidos por la definición de topos entonces reduce a la igualdad {MX del | &isin del x ; X' } = ^{&minus del f ; 1} ( t ) asociado a la noción concreta de la función característica.

Esta noción elemental o de primer orden del subobject en términos de clasificación por el f corresponde a una noción second-order independiente derivada del subobject del X que precede el concepto de topos. Dos dados el m del monics, el n respectivamente del Y y el Z al X, decimos ese &le del m ; n cuando existe un p del morphism: &rarr del Y ; Z para el cual el NP = el m, induciendo un Preorder en monics al X . Cuando &le del m ; &le del n y del n ; el m decimos que el m y el n son equivalentes. Los subobjects del X son las clases de equivalencia de su monics. Esta noción explícita del subobject como clase está en el acuerdo completo con eso creada implícito por el clasificador del subobject.

Otros ejemplos

Si el C es una pequeña categoría, después el determinado C del ^{del de la categoría de Functor (que consiste en todo el Functors de la covariante del C a los sistemas, con las transformaciones naturales como morphisms) es los topos. Por ejemplo, la categoría de todo el dirigió gráficos que es los topos. Un gráfico consiste en dos sistemas, un sistema de la flecha y un sistema de la cima, y dos funciones entre esos sistemas, asignando a cada flecha su comienzo y cima del final. La categoría de gráficos es así el equivalente al determinado C} del ^{del de la categoría del functor, donde está la categoría el C con dos objetos unidos por dos morphisms.}

Las categorías de sistemas finitos del, del finito G - los sistemas y de gráficos dirigidos finitos son también topoi.

Zenithic

Topos

Random links:

Teorema chino del resto | El municipio de Richhill, Pennsylvania | Regate de Paul | Universidad de Shih Chien | High School secundaria de William Howard Taft