En la topología, del los espacios de Hausdorff totalmente y los espacios de Urysohn del son tipos de los espacios topológicos que satisfacen axiomas de separación levemente más fuertes que el espacio de Hausdorff más familiar .
Definiciones
Suponer que el X es un espacio topológico . Dejar el x y el y ser puntos en el X .
Decimos que el x y el y pueden ser separado por las vecindades cerradas si existe un cerrado U de la vecindad del del x y un cerrado V de la vecindad del y tales que el U y el V son desune (&cap del U ; V = ∅). (Nota que un " vecindad cerrada del " del x ; es un sistema cerrado que contiene un sistema abierto que contiene el x .)
Decimos que el x y el y pueden ser separado por una función si existe un f de la función continua : &rarr del X ; (el intervalo de unidad ) con el f ( x ) = 0 y el f ( y ) = 1.
Un espacio de Urysohn del, o T2½ el espacio de , es un espacio en el cual cualquier dos puntos distintos se pueden separar por las vecindades cerradas.
Del un espacio de Hausdorff totalmente, o del el espacio de Hausdorff funcionalmente, es un espacio en el cual cualquier dos puntos distintos se pueden separar por una función.
Convenciones de nombramiento
El estudio de los axiomas de separación es notorio para los conflictos con las convenciones de nombramiento usadas. Las definiciones usadas en este artículo son ésas dadas por Willard (1970) y son las definiciones más modernas. Steen y Seebach (1970) y los otros autores invierten la definición totalmente de los espacios de Hausdorff y de los espacios de Urysohn. Los lectores de libros de textos en topología deben estar seguros de comprobar las definiciones usadas por el autor. Ver la historia de los axiomas de separación para más en esta edición.
Relación a otros axiomas de separación
Es un ejercicio fácil para demostrar que cualquier dos puntos cuáles se puedan separar por una función se pueden separar por las vecindades cerradas. Si pueden ser separadas por las vecindades cerradas entonces claramente pueden ser separadas por las vecindades. Sigue que cada espacio de Hausdorff es totalmente Urysohn y cada espacio de Urysohn es Hausdorff .
Uno puede también demostrar que cada espacio de Hausdorff regular es Urysohn y cada espacio (espacio de Tychonoff de Hausdorff =completely regular) está totalmente Hausdorff. En resumen tenemos las implicaciones siguientes:
Ejemplos
La topología de la extensión de Cocountable es la topología en la línea verdadera generada por la unión de la topología euclidiana generalmente y de la topología de Cocountable. Los sistemas son el abierto en esta topología si y solamente si están del U \ A de la forma donde está abierto el U en la topología euclidiana y el A es el contable. Este espacio es totalmente Hausdorff y Urysohn, pero no asiduo (y así no Tychonoff).
Hay ejemplos obscuros de los espacios que son Hausdorff pero no Urysohn, y de los espacios que son Urysohn pero no totalmente Hausdorff o Hausdorff regular. Para los detalles ver Steen y Seebach.
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