Transformación canónica - Enciclopedia España

En los mecánicos hamiltonianos, una transformación canónica es un cambio del $canónico de los coordenadas (\ del, \ mathbf {p} del mathbf {q}, t) \ rightarrow (\, \ mathbf {P}, t)$ del mathbf {Q} que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton, aunque puede ser que no preserve el hamiltoniano sí mismo. Esto se conoce a veces como invariación de la forma del . Las transformaciones canónicas son útiles en el su derecho propio, y también forman la base para las ecuaciones (un método útil de Hamilton-Jacobi para calcular las cantidades conservadas ) y el teorema (de Liouville la base sí mismo para los mecánicos estadísticos clásico).

Desde mecánicos des Lagrange se basa en los coordenadas generalizados, transformaciones de los coordenadas $\ el mathbf {} \ rightarrow \ mathbf {Q}$ de q no afectar a la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, no afectar a la forma de las ecuaciones de Hamilton. Por lo tanto, las transformaciones coordinadas (también llamadas las transformaciones del punto del ) son un tipo del de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, puesto que los viejos coordenadas, ímpetus e incluso tiempo generalizados se pueden combinar para formar los nuevos coordenadas y ímpetus generalizados. Las transformaciones canónicas que no incluyen el tiempo explícitamente se llaman las transformaciones canónicas restringidas (muchos libros de textos consideran solamente este tipo).

Para mayor clareza, restringimos la presentación aquí al cálculo y a los mecánicos clásicos . Los lectores familiares con matemáticas más avanzadas tales como derivados exteriores de los paquetes de la cotangente y múltiples simplécticos deben leer el artículo relacionado de Symplectomorphism . (Las transformaciones canónicas son un caso especial de un symplectomorphism.) Sin embargo, una breve introducción a la descripción matemática moderna es incluida en el extremo de este artículo.

Notación

Las variables negrita tales como $\ mathbf {q}$ representan una lista de el de $N$ generalizó los coordenadas, e.,

$\ mathbf {q} \ equivalente (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N-1}, q_ {N})$

esa necesidad transformar como un vector bajo rotación . Como de costumbre, el punto significa el derivado del tiempo, e., $\ punto {\ mathbf {q}} \ equivalente \ frac {d \ mathbf {q}} {despegue}$ . El producto de punto se define aquí como la suma de los productos de componentes correspondientes, e.,

$\ mathbf {} \ cdot \ mathbf {q} \ q_ equivalente \ del sum_ {k=1} del ^ {N} del p_ {k} {k} de p$

Acercamiento directo

La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es

$\ punto {\ mathbf {p}} = - \ frac {\ H parcial} {\ parcial \ mathbf {q}}$

$\ =~~ del punto {\ mathbf {q}} \ frac {\ H parcial} {\ parcial \ mathbf {p}}$

Por definición, los coordenadas transformados tienen dinámicas análogas

$\ punto {\ mathbf {P}} = - \ frac {\ K parcial} {\ parcial \ mathbf {Q}}$

$\ =~~ del punto {\ mathbf {Q}} \ frac {\ K parcial} {\ parcial \ mathbf {P}}$

donde está nuevo hamiltonianos el $K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ que debe ser resuelto.

Desafortunadamente, una transformación genérica $(\, \ mathbf {p} del mathbf {q}, t) \ rightarrow (\, del mathbf {Q} \ el mathbf {P}, t)$ no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton. Podemos el cheque del si una transformación restricta dada entre el $(\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ y el $(\, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ es canónica como sigue. Puesto que la transformación no tiene ninguna función del tiempo explícita (por la asunción), el derivado del tiempo de un nuevo $Q_ coordinado generalizado {m}$ es

$\ _ del punto {Q} {m} = \ frac {\ Q_ parcial {m}} {\ parcial \ mathbf {q}} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} + \ frac {\ Q_ parcial {m}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ punto {p} {\ mathbf {p}} = \ frac {\ Q_ parcial {m}} {\ parcial \ mathbf {q}} \ cdot \ frac {\ H parcial} {\ parcial \ mathbf {p}} - \ frac {\ Q_ parcial {m}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ frac {\ H parcial} {p} {\ parcial \ mathbf {q}}$

También tenemos la identidad para el $P_ conyugal del ímpetu {m}$

$\ frac {\ H parcial} {\ P_ parcial {m}} = \ frac {\ H parcial} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ frac {\ parcial \ mathbf {q} {q}} {\ P_ parcial {m}} + \ frac {\ H parcial} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ frac {\ parcial \ mathbf {p} {p}} {\ P_ parcial {m}}$

Si la transformación es canónica, estos dos deben ser iguales, dando por resultado las ecuaciones

$\ _ dejado (\ frac {\ Q_ parcial {m}} {\ p_ parcial {n}} \ correcto) {\, \ mathbf {p} del mathbf {q}} = _ - \ dejado (\ frac {\ q_ parcial {n}} {\ P_ parcial {m}} \ derecho) {\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}}$

$\ _ dejado (\ frac {\ Q_ parcial {m}} {\ q_ parcial {n}} \ correcto) = \ dejado (\ frac {\ p_ parcial {n}} {\ P_ parcial {m}} \ derecho) del _ {\, \ mathbf {p} del mathbf {q}} {\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}}$

La discusión análoga para el $P_ generalizado de los ímpetus {m}$ lleva a dos otros sistemas de ecuaciones

$\ _ dejado (\ frac {\ P_ parcial {m}} {\ p_ parcial {n}} \ correcto) = \ dejado (\ frac {\ q_ parcial {n}} {\ Q_ parcial {m}} \ derecho) del _ {\, \ mathbf {p} del mathbf {q}} {\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}}$

$\ _ dejado (\ frac {\ P_ parcial {m}} {\ q_ parcial {n}} \ correcto) {\, \ mathbf {p} del mathbf {q}} = _ - \ dejado (\ frac {\ p_ parcial {n}} {\ Q_ parcial {m}} \ derecho) {\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}}$

Éstas son las condiciones directas para comprobar si una transformación dada es canónica.

Teorema de Liouville

Las condiciones directas permiten que probemos el teorema de Liouville, que indica que el volumen del en espacio de fase está conservado bajo transformaciones canónicas, es decir,

$\ internacional d \ mathbf {q} = \ internacional d \ mathbf {Q} d \ mathbf {P} de d \ del mathbf {p}$

Por el cálculo, el 3ultimo integral debe igualar los tiempos anteriores el Jacobian $J$

$\ internacional d \ mathbf {Q} = \ internacional J d \ mathbf {q} d \ mathbf {p} de d \ del mathbf {P}$

donde está el el Jacobian determinante de la matriz de los derivados parciales que escribimos como

$J \ equivalente \ frac {\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {P} {Q})}{\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {p} {q})}$

Aprovechamiento del " division" característica de las producciones de Jacobians

$J \ equivalente \ frac {\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {P} {Q})}{\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {P} {q})} \ dejado \ frac {\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {p} {q})}{\, parcial (\ del mathbf \ mathbf {P} {q})} \ derecho.$

La eliminación de las variables repetidas da

$J \ equivalente \ frac {\ parcial (\ mathbf {Q})}{\ parcial (\ mathbf {q})} \ dejado \ frac {\ parcial (\ mathbf {p})}{\ parcial (\ mathbf {P})} \ derecho.$

Uso de las producciones antedichas directas $J=1$ de las condiciones .

Acercamiento de la función de generación

considera también:

la función de generación (la física) A la garantía del una transformación válida entre el $(\, \ mathbf {p}, H)$ y $(\, \ mathbf {P}, K)$ del mathbf {q} del mathbf {Q}, podemos recurrir a un acercamiento indirecto de la función de generación del . Ambos sistemas de variables deben obedecer el principio de Hamilton

$\ ^ del delta \ del int_ {t_ {1}} {t_ {2}} \ ido \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} - H (\, \ mathbf {p} de p del mathbf {q}, t) \ derecho despegue = 0$

$\ ^ del delta \ del int_ {t_ {1}} {t_ {2}} \ ido \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {Q}} - K (\, \ mathbf {P} de P del mathbf {Q}, t) \ derecho despegue = 0$

Para satisfacer ambos integrales variados, debemos tener

$\ lambda \ ido \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} - H de p (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) \ derecho = \ mathbf {} \ cdot \ punto de P {\ mathbf {Q}} - K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}, t) + \ frac {dG} {despegue}$

Generalmente el $\ lambda$ del factor de escala se fija igual a uno; las transformaciones canónicas las cuales el $\ lambda \ neq 1$ se pide ampliaron las transformaciones canónicas .

Aquí $G$ es una función de generación de un coordenada canónico ( $\ mathbf {q}$ del viejo o $\ mathbf {p}$ ), de un coordenada canónico ( $\ mathbf {Q}$ del nuevo o $\ mathbf {P}$ ) y (posiblemente) del tiempo $t$ . Así, hay cuatro tipos básicos de funciones de generación, dependiendo de la opción de variables. Como ser demostrado abajo, generando función definir transformación de viejo a nuevo canónico coordenada, y cualquier transformación $(\ mathbf {q}, \) \ rightarrow (\, \ mathbf {P} del mathbf {p} del mathbf {Q})$ se garantiza para ser canónico.

Función de generación del tipo 1

El $G_ de la función de generación del tipo 1 {1}$ depende solamente del viejo y nuevo $generalizado del de los coordenadas G \, equivalente de G_ {1} (\ mathbf {q} \ mathbf {Q}, t)$ Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación de definición arriba

$\ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} - H (\, \ mathbf {p} de p del mathbf {q}, t) = \ mathbf {P} \ cdot \ punto {\ mathbf {Q}} - K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}, t) + \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ t parcial} + \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {q}} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} + \ frac {\ G_ parcial {1}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ punto {Q} {\ mathbf {Q}}$

Puesto que los nuevos y viejos coordenadas son cada independiente, las ecuaciones siguientes de $2N+1$ deben sostenerse

$\ mathbf {p} = ~~ \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {q}}$

$\ mathbf {P} = - \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {Q}}$

$K = H + \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ t parcial}$

Este ecuación definen transformación $(\ mathbf {q}, \) \ rightarrow (\, \ mathbf {P} del mathbf {p} del mathbf {Q})$ como sigue. El primer sistema del de ecuaciones de $N$

$\ mathbf {p} = ~~ \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {q}}$

definir las relaciones entre el $\ el mathbf generalizados nuevo {Q}$ de los coordenadas y el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Ideal, uno puede invertir estas relaciones para obtener las fórmulas para cada $Q_ {k}$ en función de los viejos coordenadas canónicos. La substitución de estas fórmulas para el $\ el mathbf {Q}$ coordina en el sistema del segundo de ecuaciones de $N$

$\ mathbf {P} = - \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {Q}}$

rinde las fórmulas análogas para el nuevos $\ mathbf generalizados {P}$ de los ímpetus en términos de $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Entonces invertimos ambos sistemas de fórmulas para obtener el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ como funciones del $canónico de los coordenadas del nuevo (\ del, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ . Substitución de las fórmulas invertidas en el $K = H + \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ t parcial}$ rinden una fórmula para $K$ en función el $canónico de los coordenadas del nuevo (\ de, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil que suena, porque la función de generación es generalmente simple. Por ejemplo, dejar el $del G_ {1} \ equivalente \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {Q} de q$ Esto da lugar a intercambiar los coordenadas generalizados por los ímpetus y viceversa el $del \ mathbf {p} = = \ mathbf {Q} del ~~ \ del frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {q}}$

$\ mathbf {P} = - \ frac {\ G_ parcial {1}} {\ parcial \ mathbf {Q}} = - \ mathbf {q}$ y $K=H$ . Este ejemplo ilustra cómo la independiente los coordenadas y los ímpetus está en la formulación hamiltoniana; son variables equivalentes.

Tipo - función de generación 2

El tipo - el $G_ de la función de generación 2 {2}$ depende solamente de los coordenadas generalizados viejo y del nuevo $generalizado del de los ímpetus G \ equivalente - \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {P} de Q +, de G_ {2} (\ mathbf {q} \ mathbf {P}, t)$ donde $- \ el mathbf {} \ los términos del cdot de Q \ del mathbf {P}$ representan una transformación de Legendre para cambiar el lado derecho de la ecuación abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación de definición arriba

$\ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} - H (\, \ mathbf {p} de p del mathbf {q}, t) = - \ mathbf {Q} \ cdot \ punto {\ mathbf {P}} - K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}, t) + \ frac {\ G_ parcial {2}} {\ t parcial} + \ frac {\ G_ parcial {2}} {\ parcial \ mathbf {q}} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} + \ frac {\ G_ parcial {2}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ punto {P} {\ mathbf {P}}$

Puesto que los viejos coordenadas y los nuevos ímpetus son cada independiente, las ecuaciones siguientes de $2N+1$ deben sostenerse

$\ = \ frac {\ G_ parcial {2} del mathbf {p}} {\ parcial \ mathbf {q}}$

$\ = \ frac {\ G_ parcial {2} del mathbf {Q}} {\ parcial \ mathbf {P}}$

$K = H + \ frac {\ G_ parcial {2}} {\ t parcial}$

Este ecuación definen transformación $(\ mathbf {q}, \) \ rightarrow (\, \ mathbf {P} del mathbf {p} del mathbf {Q})$ como sigue. El primer sistema del de ecuaciones de $N$

$\ = \ frac {\ G_ parcial {2} del mathbf {p}} {\ parcial \ mathbf {q}}$

definir las relaciones entre el nuevos $\ mathbf generalizados {P}$ de los ímpetus y el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Ideal, uno puede invertir estas relaciones para obtener las fórmulas para cada $P_ {k}$ en función de los viejos coordenadas canónicos. La substitución de estas fórmulas para el $\ el mathbf {P}$ coordina en el sistema del segundo de ecuaciones de $N$

$\ = \ frac {\ G_ parcial {2} del mathbf {Q}} {\ parcial \ mathbf {P}}$

rinde las fórmulas análogas para el nuevos $\ mathbf generalizados {Q}$ de los coordenadas en términos de $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Entonces invertimos ambos sistemas de fórmulas para obtener el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ como funciones del $canónico de los coordenadas del nuevo (\ del, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ . Substitución de las fórmulas invertidas en el $final del de la ecuación K = H + \ frac {\ G_ parcial {2}} {\ t parcial}$ rinden una fórmula para $K$ en función el $canónico de los coordenadas del nuevo (\ de, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil que suena, porque la función de generación es generalmente simple. Por ejemplo, dejar el $del G_ {2} \ equivalente \ mathbf {g} (\ mathbf {q}; t) \ cdot \ mathbf {P}$ donde está el $\ el mathbf {g}$ un sistema de $N$ funciona. Esto da lugar a una transformación del punto del $generalizado del de los coordenadas \ mathbf {Q} = \ = \ mathbf {g} del frac {\ G_ parcial {2}} {\ parcial \ mathbf {P}} (\ mathbf {q}; t)$

Tipo 3 función de generación

El tipo 3 $G_ de la función de generación {3}$ depende solamente de los viejos ímpetus generalizados y del nuevo $generalizado del de los coordenadas G \ equivalente \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {p} de q +, de G_ {3} (\ mathbf {p} \ mathbf {Q}, t)$ donde $\ el mathbf {} \ los términos del cdot de q \ del mathbf {p}$ representan una transformación de Legendre para cambiar el lado izquierdo de la ecuación abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación de definición arriba

$- \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {p}} - H (\, \ mathbf {p} de q del mathbf {q}, t) = \ mathbf {P} \ cdot \ punto {\ mathbf {Q}} - K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}, t) + \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ t parcial} + \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ parcial \ mathbf {p}} \ cdot \ punto {\ mathbf {p}} + \ frac {\ G_ parcial {3}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ punto {Q} {\ mathbf {Q}}$

Puesto que los nuevos y viejos coordenadas son cada independiente, las ecuaciones siguientes de $2N+1$ deben sostenerse

$\ mathbf {q} = - \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ parcial \ mathbf {p}}$

$\ mathbf {P} = - \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ parcial \ mathbf {Q}}$

$K = H + \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ t parcial}$

Este ecuación definen transformación $(\ mathbf {q}, \) \ rightarrow (\, \ mathbf {P} del mathbf {p} del mathbf {Q})$ como sigue. El primer sistema del de ecuaciones de $N$

$\ mathbf {q} = - \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ parcial \ mathbf {p}}$

$\ mathbf {P} = - \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ parcial \ mathbf {Q}}$

rinde las fórmulas análogas para el nuevos $\ mathbf generalizados {P}$ de los ímpetus en términos de $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Entonces invertimos ambos sistemas de fórmulas para obtener el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ como funciones del $canónico de los coordenadas del nuevo (\ del, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ . Substitución de las fórmulas invertidas en el $final del de la ecuación K = H + \ frac {\ G_ parcial {3}} {\ t parcial}$ rinden una fórmula para $K$ en función el $canónico de los coordenadas del nuevo (\ de, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil que suena, porque la función de generación es generalmente simple.

Tipo 4 función de generación

El tipo 4, \ mathbf {P}, t) del $G_ de la función de generación {4} (\ mathbf {p} depende solamente del viejo y nuevo generalizado del de los ímpetus G \ equivalente \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {p} - \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {P} de Q +, de G_ {4} (\ mathbf {p} \ mathbf {P}, t) donde \ el mathbf {q} \ cdot \ el mathbf {p} - \ el mathbf {} \ los términos del cdot de Q \ del mathbf {P} representan una transformación de Legendre para cambiar ambos lados de la ecuación abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación de definición arriba$

$- \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {p}} - H (\, \ mathbf {p} de q del mathbf {q}, t) = - \ mathbf {Q} \ cdot \ punto {\ mathbf {P}} - K (\, \ mathbf {P} del mathbf {Q}, t) + \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ t parcial} + \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ parcial \ mathbf {p}} \ cdot \ punto {\ mathbf {p}} + \ frac {\ G_ parcial {4}} {\} parcial \ del mathbf \ cdot \ punto {P} {\ mathbf {P}}$

Puesto que los nuevos y viejos coordenadas son cada independiente, las ecuaciones siguientes de $2N+1$ deben sostenerse

$\ mathbf {q} = - \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ parcial \ mathbf {p}}$

$\ mathbf {Q} = ~~ \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ parcial \ mathbf {P}}$

$K = H + \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ t parcial}$

Este ecuación definen transformación $(\ mathbf {q}, \) \ rightarrow (\, \ mathbf {P} del mathbf {p} del mathbf {Q})$ como sigue. El primer sistema del de ecuaciones de $N$

$\ mathbf {q} = - \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ parcial \ mathbf {p}}$

$\ = \ frac {\ G_ parcial {4} del mathbf {Q}} {\ parcial \ mathbf {P}}$

rinde las fórmulas análogas para el nuevos $\ mathbf generalizados {Q}$ de los coordenadas en términos de $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ . Entonces invertimos ambos sistemas de fórmulas para obtener el $canónico de los coordenadas del viejo (\, \ mathbf {p} del mathbf {q})$ como funciones del $canónico de los coordenadas del nuevo (\ del, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ . Substitución de las fórmulas invertidas en el $final del de la ecuación K = H + \ frac {\ G_ parcial {4}} {\ t parcial}$ rinden una fórmula para $K$ en función el $canónico de los coordenadas del nuevo (\ de, \ mathbf {P} del mathbf {Q})$ .

En la práctica, este procedimiento es más fácil que suena, porque la función de generación es generalmente simple.

Movimiento como transformación canónica

El movimiento sí mismo (o, equivalente, un cambio en el origen del tiempo) es una transformación canónica. Si el $\ el mathbf {Q} (t) \ equivalente \ el mathbf {q} (t+ \ tau)$ y $\ el mathbf {P} (t) \ equivalente \ el mathbf {p} (t+ \ tau)$ , entonces principio de Hamilton se satisface automáticamente

$\ ^ del delta \ del int_ {t_ {1}} {t_ {2}} \ ido \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {Q}} - K (\, \ mathbf {P} de P del mathbf {Q}, t) \ derecho despegue = \ ^ del delta \ del int_ {{1} + \ tau} del t_ {{2} + \ tau} del t_ \ ido \ mathbf {} \ cdot \ punto {\ mathbf {q}} - H (\, \ mathbf {p}, t+ \ tau) de p del mathbf {q} \ derecho despegue = 0$

desde un $(\, del mathbf {q} (t) \ mathbf {p} (t))$ debe satisfacer siempre el principio de Hamilton, sin importar las puntos finales.

Descripción matemática moderna

En términos matemáticos, los coordenadas canónicos son cualquier coordenada en el espacio de fase (paquete de la cotangente) del sistema que permita que a la uno-forma canónica sea escrita como $del l \ p_i del sum_i \, dq^i$

hasta un diferencial total (forma exacta ). El cambio de la variable entre un sistema de coordenadas canónicos y otro es una transformación canónica . El índice generalizó el $\ el mathbf {q}$ de los coordenadas se escribe aquí como exponente ( $q^ {i}$ ) del, no como subíndice del según lo hecho sobre ( $q_ {i}$ ). El exponente transporta las características contravariant de la transformación de los coordenadas generalizados, y hace medio del no que el coordenada se está levantando a una energía. Otros detalles se pueden encontrar en el artículo de Symplectomorphism .

Historia

El primer uso del comandante de la transformación canónica era en 1846, al lado de Charles Delaunay, en el estudio del sistema de Tierra-Luna-Sun. Este trabajo dio lugar a la publicación de un par de volúmenes grandes como Mémoires de la Academia de Ciencias imperial de Francia, en 1860 y 1867.

Ver también

Symplectomorphism
Ecuación de Hamilton-Jacobi
Teorema de Liouville (hamiltoniano)
Transformación de Mateo
Lista de las transformaciones coordinadas canónicas

Zenithic

Pieter Both (mountain)

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