las transformaciones de Möbius del

l no se deben confundir con el Möbius transforman o la función de Möbius.

En la geometría, una transformación de Möbius del es una función: $f\; del$

l (z) = \ frac {z + b} {c z + d}

donde está &minus el z, un, b, c, d satisfying complejo del anuncio del de los números ; del &ne a.

Equivalente, una transformación de Möbius puede ser realizada realizando una proyección estereográfica de un plano a una esfera, girando y moviendo esa esfera a una nuevas localización y orientación arbitrarias, y realizando una proyección estereográfica de nuevo al plano.

Las transformaciones de Möbius se nombran en honor agosto Fernando Möbius, aunque también se llamen el las transformaciones homográficas o el las transformaciones lineares fraccionarias .

Descripción

Una transformación de Möbius es un mapa conformal Bijective del plano complejo extendido (es decir el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ):

$\backslash \; widehat\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{de\; C\; \backslash \; infty\; \backslash \}.$

El sistema de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición llamada el grupo de Möbius del .

El grupo de Möbius es el grupo del automorfismo de la esfera de Riemann, $del\; \backslash \; mbox\; a\; veces\; denotados\; \{Aut\}\; (\backslash \; widehat\; \backslash \; mathbb\; C).$ Ciertos subgrupos del grupo de Möbius forman los grupos del automorfismo de las otras superficies simple-conectadas (el plano complejo y el plano hiperbólico de Riemann). Como tal, las transformaciones de Möbius desempeñan un papel importante en la teoría de las superficies de Riemann. El grupo fundamental de cada superficie de Riemann es un subgrupo discreto del grupo de Möbius (véase el grupo de Fuchsian y el grupo de Kleinian). Las transformaciones de Möbius son también estrechamente vinculadas a los isometries múltiples hiperbólicos de los 3

Un subgrupo particularmente importante del grupo de Möbius es el grupo modular ; es central a la teoría de muchas curvas elípticas modular de las formas de los fractales y de las ecuaciones de Pellian

En la física, el componente de la identidad del grupo de Lorentz actúa en la esfera celestial la misma manera que el grupo de Möbius actúa en la esfera de Riemann . De hecho, estos dos grupos son isomorfos. Un observador que acelera a las velocidades relativistas verá el patrón de constelaciones según lo visto cerca de la tierra continuamente para transformar según las transformaciones infinitesimales de Möbius. Esta observación se toma a menudo como el punto de partida de la teoría de Twistor.

Definición

La forma general de una transformación de Möbius es dada por el $z\; \backslash \; el\; mapsto\; \backslash \; el\; frac\; del\; \{z\; +\; b\}\; \{c\; z\; +\; d\}$ donde está cualquier &minus el un, b, c, d satisfying complejo del anuncio del de los números ; del &ne a. (Si el anuncio del = el la función racional definida arriba es a.) Esta definición se puede ampliar a la esfera de Riemann entera (el plano complejo más el punto en el infinito ).

El sistema de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . Este grupo puede ser dado la estructura de un múltiple complejo de una manera tal que la composición y la inversión sean los mapas olomorfos que el grupo de Möbius es entonces un grupo de mentira complejo . El grupo de Möbius es generalmente $\backslash \; mbox\; denotados\; \{Aut\}\; (\backslash \; widehat\; \backslash \; mathbb\; C)$ pues es el grupo del automorfismo de la esfera de Riemann.

Descomposición y características elementales

Una transformación de Möbius es equivalente a una secuencia de transformaciones más simples. Dejado:
¡

$f\_1\; (z)=\; z+d/c\; \backslash !$ (traducción )
¡$f\_2\; (z)=\; 1/z\; \backslash !$ (inversión y reflexión )
¡$f\_3\; (z)=\; (-\; (anuncio-a.)\; /c^2)\; \backslash \; cdot\; z\; \backslash !$ (dilatación y rotación )
¡$f\_4\; (z)=\; z+a/c\; \backslash !$ (traducción)

entonces $f\_4\; \backslash \; circ\; f\_3\; \backslash \; circ\; f\_2\; \backslash \; circ\; f\_1\; (z)=\; \backslash \; frac\; \{az+b\}\; \{cz+d\}\; del$

l . ¡\!

Esta descomposición hace que muchas características del Möbius transforman obvio.

Por ejemplo, la preservación de ángulos se reduce a probar la característica de la preservación del ángulo de la inversión del círculo, puesto que el resto de la transformación es las dilataciones o el Isometries, que preservan trivial ángulos.

La existencia de una función inversa de la transformación de Möbius y de su fórmula explícita es derivada fácilmente por una composición de la función inversa de las transformaciones más simples. Es decir, definir las funciones $g\_1,\; g\_2,\; g\_3,\; g\_4$ tales que $g\_i$ es lo contrario de $f\_i$, entonces composición $g\_1\; \backslash \; circ\; g\_2\; \backslash \; circ\; g\_3\; \backslash \; circ\; g\_4\; (z)$ sería la expresión explícita para la transformación inversa de Möbius: $del$

l \ frac {DZ-b} {- cz+a}

De esta descomposición, también vemos que la transformación de Möbius transporta todas las características no triviales de la inversión del círculo. A saber, eso circunda se traza a los círculos, y se preservan los ángulos. También, debido a la inversión del círculo, se transporta la conveniencia de definir la transformación de Möbius sobre un plano con un punto en el infinito, que hace declaraciones y conceptos de las características de la transformación de Möbius más simples.

Para otro ejemplo, mirar $f\_3$. Si el $ad-bc=\; 0$, entonces la transformación se derrumba al punto 0, después $f\_4$ se mueve a $a/c$. El derrumbarse a un punto no es una transformación interesante, así requerimos en la definición de la transformación de Möbius ese $ad-bc\; \backslash \; ne\; 0$.

Preservación de ángulos y de círculos

Según lo considerado de la descomposición antedicha, la transformación de Möbius contiene esta transformación $1/z$, llamado inversión compleja. Geométrico, una inversión compleja es una inversión del círculo seguida por una reflexión alrededor del x - eje.

En la inversión del círculo, los círculos se trazan a los círculos (aquí, las líneas se consideran como círculos con el radio infinito), y se preservan los ángulos. Ver el circundar la inversión para las varias características y pruebas.

preservación del Cruz-cociente

El teorema de la preservación del cruz-cociente del indica que $del\; del\; Cruz-cociente\; \backslash \; frac\; \{(z\_1-z\_3)\; (z\_2-z\_4)\}\{(z\_1-z\_4)\; (z\_2-z\_3)\}\; =\; \backslash \; frac\; \{(w\_1-w\_3)\; (w\_2-w\_4)\}\{(w\_1-w\_4)\; (w\_2-w\_3)\}$ son invariantes bajo transformación de Möbius esa los mapas del z a el w .

La acción del grupo de Möbius en la esfera de Riemann es agudamente 3 transitivos en el sentido que hay una transformación única de Möbius que lleva cualquier tres puntos distintos en la esfera de Riemann cualquier otro sistema de tres puntos distintos. Ver la sección abajo en el que especifica una transformación por tres puntos de .

Representaciones de matriz descriptivas

El $f\; del\; de\; la\; transformación\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{z\; +\; b\}\; \{c\; z\; +\; d\}$ puede ser expresado provechosamente como un $\backslash \; mathfrak\; \{H\}\; del\; dela\; matriz=\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; c\; y\; d\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; de\; a\; y\; de\; b.$ El &minus del anuncio del de la condición; del &ne a. ; 0 es equivalente a la condición que el determinante de matriz antedicha sea diferente a cero (es decir la matriz debe ser el no singular). Observar eso que multiplica el $\backslash \; el\; mathfrak\; H$ por cualquier &lambda del número complejo; da lugar a la misma transformación. Tales representaciones de matriz se llaman las representaciones descriptivas por las razones explicadas abajo. Es a menudo conveniente normalizar el $\backslash \; el\; mathfrak\; H$ de modo que su determinante sea igual a 1. El $de\; la\; matriz\; \backslash \; el\; mathfrak\; H$ es entonces único hasta muestra de .

La utilidad de esta representación es que la composición de dos transformaciones de Möbius corresponde exacto a la multiplicación de la matriz de las matrices correspondientes. Es decir, si nosotros definen mapa

$\backslash \; pi\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; mbox\; \{GL\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; C)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{Aut\}\; (\backslash \; widehat\; \backslash \; mathbb\; C)$ del grupo linear general GL (2, C ) al grupo de Möbius cuál envía el $de\; la\; matriz\; \backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}$ al f de la transformación, después este mapa es un homomorfismo del grupo.

El $\backslash \; pi$ del mapa es el no al isomorfismo, desde él traza cualquier múltiplo escalar del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{H\}$ a la misma transformación. El núcleo de este homomorfismo es entonces el sistema de todo el kI del de las matrices escalares, que es el centro de GL (2, C ). El grupo GL (2, C ) /Z (GL (2, C ) del cociente) se llama el grupo linear descriptivo y es generalmente PGL denotado (2, C ). Por el primer teorema del isomorfismo de la teoría de grupo concluimos que el grupo de Möbius es isomorfo a PGL (2, C ). Desde Z (GL (2, C )) es el núcleo de la acción de grupo dada por GL (2, C ) actuando en sí mismo por la conjugación, PGL (2, C ) es isomorfo al grupo interno del automorfismo de GL (2, C ). Por otra parte, la acción natural de PGL (2, C ) en la línea descriptiva compleja CP del ¹ es exactamente la acción natural del grupo de Möbius en la esfera de Riemann cuando se identifican la esfera y la línea descriptiva como sigue: $del\; :\; z\_2\; \backslash \; leftrightarrow\; z\_1/z\_2.$ Aquí están los coordenadas homogéneos en el CP ¹.

Si uno normaliza el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}$ de modo que el determinante sea igual a uno, el $\backslash \; pi$ del mapa restringe a un mapa surjective del grupo linear especial SL (2, C ) al grupo de Möbius. El grupo de Möbius es por lo tanto también isomorfo a PSL (2, C ). Entonces tenemos los isomorphisms siguientes: $del\; \backslash \; mbox\; \{Aut\}\; (\backslash \; widehat\; \backslash \; mathbb\; C)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; C)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; C).$ del cong \ del mbox {PGL} (2 del cong \ del mbox {PSL} (2 De la identificación pasada vemos que el grupo de Möbius es un grupo de mentira complejo de 3 dimensiones (o 6 grupos de mentira verdaderos dimensionales).

Observar que hay exacto dos matrices con el determinante de la unidad que se puede utilizar para representar cualquier transformación dada de Möbius. Es decir, el SL (2, C ) es una cubierta del doble de PSL (2, C ). Desde SL (2, C ) está el Simple-conectado que es la cubierta universal del grupo de Möbius. El grupo fundamental del grupo de Möbius es entonces el Z ₂.

Clasificación

Las transformaciones de Möbius se clasifican comúnmente en cuatro tipos, parabólico, elíptico, hiperbólico y loxodrómico (realmente hiperbólicos es un caso especial de loxodrómico). La clasificación tiene significación algebraica y geométrica. Geométrico, los diversos tipos dan lugar a diversas transformaciones del plano complejo, como las figuras abajo ilustran. Este tipo puede estar distinguido por mirando rastro $\backslash \; mbox\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; =a+d$ del tr. Observar que el rastro es invariante bajo conjugación, es decir,

$\backslash \; mbox\; \{tr\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathfrak\; \{GHG\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; mbox\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathfrak\; \{H\},$ del tr

y tan cada miembro de una clase del conjugacy tendrá el mismo rastro. Cada transformación de Möbius puede ser escrita tales que su $de\; la\; matriz\; \backslash \; mathfrak\; de\; representación\; \{H\}$ tiene determinante uno (multiplicando las entradas con un escalar conveniente)., \ Mathfrak {H} ' del $\backslash \; del\; mathfrak\; de\; dos\; transformaciones\; de\; Möbius\; \{H\}\; (ambos\; no\; igualan\; a\; la\; identidad\; transforman)\; con\; =\; \backslash \; det\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; “=1$ del $\backslash \; del\; det\; \backslash \; del\; mathfrak\; \{H\}\; es\; conyugalsi\; y\; solamente\; si$ \backslash \; el\; mbox\; \{tr\}\; ^2\; \backslash ,\; \backslash \; =\; \backslash \; mbox\; \{tr\}\; ^2\; del\; mathfrak\; \{H\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}”$.$

En la discusión siguiente asumiremos siempre que el $de\; la\; matriz\; \backslash \; el\; mathfrak\; de\; representación\; \{H\}$ está normalizado tales que $\backslash \; el\; det\; \{\backslash \; mathfrak\; \{H\}\}\; =ad-bc=1$.

Parabólico transforma

La transformación reputa parabólica si $del$

l \ mbox {tr} ^2 \ mathfrak {H} = (a+d)^2 = 4.

Transformación es parabólico si y solamente si él tiene uno fijo punto en comprimido complejo plano $\backslash \; widehat\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{de\; C\; \backslash \; infty\; \backslash \}$. Es parabólico si y solamente si es conyugal a el $del$

l \ comienza {pmatrix} 1 y 1 \ \ 0 y 1 \ extremo {pmatrix}.

El subgrupo que consiste en todo parabólico transforma de esta forma: el $del$

l \ comienza {pmatrix} \ \ 0 y 1 \ extremo {pmatrix} de 1 y de b

es un ejemplo de un subgrupo de Borel, que generaliza la idea a dimensiones más altas.

El resto de las transformaciones de la no-identidad tienen dos puntos fijos. Todo el no-parabólico (no-identidad) transforma es conyugal a

$\backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash lambday\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; lambda^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$

con el $\backslash \; lambda$ no igual a 0, a 1 o al − 1. El $k=\; cuadrado\; \backslash \; lambda^2$ se llama la característica el multiplicador constante de o del de la transformación.

Elíptico transforma

La transformación reputa elíptica si

Una transformación es elíptica si y solamente si $|\backslash \; lambda|=1$. Escritura $\backslash \; lambda=e^\; \{i\; \backslash \; alfa\}$, elíptico transforman es conyugal a

$\backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; del\; pecado\; de\; lechuga\; romana\; del\; pmatrix\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash \; de\; la\; alfa\; -\; \backslash \; y\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; alfa\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ del pecado \ de la alfa

con el $\backslash \; alpha$ verdadero. Observar que para el cualquier $de\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}$, el constante característico del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{H\}\; ^n$ es $k^n$. Así, las únicas transformaciones de Möbius de la orden finita son las transformaciones elípticas, y éstas solamente cuando λ es una raíz de la unidad ; equivalente, cuando α es un múltiplo racional pi .

Hiperbólico transforma

La transformación reputa hiperbólica si $del$

l \ mbox {tr} ^2 \ mathfrak {H} > 4. \,

Una transformación es hiperbólica si y solamente si λ es el verdadero y el positivo.

Loxodrómico transforma

La transformación reputa loxodrómica si el $\backslash \; el\; mbox\; \{tr\}\; ^2\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}$ no está en el intervalo cerrado de. Hiperbólico transforma son así un caso especial de transformaciones loxodrómicas. Una transformación es loxodrómica si y solamente si $|\backslash \; lambda|\backslash \; ne\; 1$. Históricamente, la navegación por el Loxodrome o la línea de rumbo refiere a una trayectoria del cojinete constante ; la trayectoria resultante es un espiral logarítmico, similar en forma a las transformaciones del plano complejo que una transformación loxodrómica de Möbius hace. Ver las figuras geométricas abajo.

Puntos fijos

Cada transformación de Möbius de la no-identidad tiene dos, $\backslash \; gamma\_1\; de\; los\; puntos\; fijos\; \backslash \; gamma\_2$ en la esfera de Riemann. Observar que los puntos fijos están contados aquí con la multiplicidad ; para las transformaciones parabólicas, los puntos fijos coinciden. Cualquiera o ambos puntos fijos puede ser el punto en el infinito.

Los puntos fijos del $f\; del\; de\; la\; transformación\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{az\; +\; b\}\; \{CZ\; +\; d\}$ son obtenidos solucionando = \ gamma del $f\; de\; laecuacióndel\; punto\; fijo\; (\backslash \; gamma).\; Para\; el$ c\; \backslash \; ne\; 0$,\; éste\; tiene\; del$ de dos raíces (prueba) : $del\; \backslash \; gamma\_\; \{1.2\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{(a\; -\; d)\; \backslash \; P.\; \backslash raíz\; cuadrada\{(a-d)\; ^2\; +\; 4bc\}\}\; \{2c\}\; \{(a\; -\; d)\; \backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{(a+d)^2\; -\; 4\; (anuncio-a.$ Observar que para las transformaciones parabólicas, que satisfacen el $(a+d)^2\; =\; 4\; (anuncio-a.)$, los puntos fijos coinciden.

Cuando el c = 0, uno de los puntos fijos está en el infinito; el otro se da cerca $\backslash \; gamma=-\; \backslash \; frac\; del$

l {b} {a-d}.

La transformación será una transformación simple integrada por las rotaciones de las traducciones y las dilataciones $z\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; alfa\; del$

l z + \ beta. \,

Si el c = 0 y el = el d, entonces ambos puntos fijos están en el infinito, y la transformación de Möbius corresponde a una traducción pura: + \ beta del $z\; \backslash \; del\; mapsto\; z.$

Forma normal

Las transformaciones de Möbius también se escriben a veces en términos de sus puntos fijos en la forma normal supuesto. Primero tratamos la caja no-parabólica, para la cual hay dos puntos fijos distintos.

caso No-parabólico del :

Cada transformación no-parabólica es el conyugal a una dilatación, es decir una transformación del $z\; \backslash \; del\; mapsto\; k\; z$ del de la forma con los puntos fijos en 0 y el ∞. Para ver esto definir mapa

$g\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{z\; -\; \backslash \; gamma\_1\}\; \{-\; \backslash \; gamma\_2\; de\; z\}$ cuál envía el $de\; los\; puntos,\; (\backslash \; gamma\_1\; \backslash \; gamma\_2)$ al $(0,\; \backslash \; infty)$. Aquí asumimos que el $\backslash \; gamma\_1$ y el $\backslash \; gamma\_2$ son finitos. Si uno de ellos está ya en el infinito entonces el g se puede modificar para fijar infinito y enviar el otro punto a 0.

Si el f tiene $distinto\; de\; los\; puntos\; fijos,\; (\backslash \; gamma\_1\; \backslash \; gamma\_2)$ entonces el $gfg^\; de\; la\; transformación\; \{-\; 1\}$ tiene puntos fijos en 0 y ∞ y está por lo tanto una dilatación: $gfg^\; \{-\; 1\}\; (z)\; =\; kz$. La ecuación del punto fijo para el f de la transformación se puede entonces escribir el $\backslash \; el\; frac\; del\; -\; \backslash \; gamma\_1\}\; \{f\; (z)\; \{de\; f\; (z)\; -\; \backslash \; gamma\_2\}\; =\; k\; \backslash \; el\; frac\; \{z\; \backslash \; gamma\_1\}\; \{z\; \backslash \; gamma\_2\}.$

El solucionar para el f da (en forma de la matriz): $del$

l \ mathfrak {H} (k; \ gamma_1, \ gamma_2) = \ comenzar {el pmatrix} \ gamma_1 - k \ gamma_2 y (k - \ de 1) \ gamma_1 \ gamma_2 \ 1 - k y k \ gamma_1 - \ gamma_2 \ extremo {pmatrix}

o, si uno de los puntos fijos está en el infinito: $del$

l \ mathfrak {H} (k; \ gamma, \ infty) = \ comenzar {el pmatrix} k y (1 - de k) \ de la gamma \ \ 0 y 1 \ extremo {pmatrix}.

De las expresiones antedichas una puede calcular los derivados del f en los puntos fijos: $f\text{'}(\backslash \; gamma\_1\; del$

l ) = k \, y $f\text{'}(\backslash \; gamma\_2)\; =\; 1/k.\; \backslash ,$

Observar que, dado ordenar de los puntos fijos, podemos distinguir uno de los multiplicadores ( k ) del f como la característica constante del del f . La inversión de la pedido de los puntos fijos es equivalente a tomar el multiplicador inverso para el constante característico: $del\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; (k;\; \backslash \; gamma\_1,\; \backslash \; gamma\_2)\; =\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; (1/k;\; \backslash \; gamma\_2,\; \backslash \; gamma\_1).$

Para las transformaciones loxodrómicas, siempre que $|k|>1$, uno dice que el $\backslash \; gamma\_1$ es el punto fijo repulsivo del, y el $\backslash \; gamma\_2$ es el punto fijo atractivo del . Para el , los papeles.

Caso parabólico del :

En el caso parabólico hay solamente un $\backslash \; gamma$ del punto fijo. La transformación que envía ese punto al ∞ es $g\; del$

l (z) = \ frac {1} {- \ gamma de z}

o la identidad si el $\backslash \; gamma$ está ya en el infinito. El $gfg^\; de\; la\; transformación\; \{-\; 1\}$ fija infinito y es por lo tanto una traducción: $gfg^\; del$

l {- 1} (z) = z + \ beta \.

Aquí, β se llama la longitud de la traducción del . La fórmula del punto fijo para una transformación parabólica entonces está - \ gamma del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {1} {f (z)} = \ + \ beta. del frac {1} {z \ gamma}

El solucionar para el f (en forma de la matriz) da $del$

l \ mathfrak {H} (\ beta; \ gamma) = \ comenzar {el pmatrix} \ gamma^2 \ 1+ \ gamma \ beta y - \ beta \ \ beta y 1 \ gammas \ beta \ extremo {pmatrix}

o, si = \ infty del $\backslash \; de\; la\; gamma:$ del$$

l \ mathfrak {H} (\ beta; \ infty) = \ comenzar {el pmatrix} 1 y \ \ beta \ 0 y 1 \ extremo {pmatrix}

Observar que el $\backslash \; beta$ es el no el constante característico del f, que es siempre 1 para una transformación parabólica. De las expresiones antedichas una puede calcular: $f\text{'}(del\; \backslash \; gamma)\; =\; 1.\; \backslash ,$

Interpretación geométrica del constante característico

El cuadro siguiente representa (después de la transformación estereográfica de la esfera al plano) los dos puntos fijos de una transformación de Möbius en el caso no-parabólico:

El constante característico se puede expresar en términos de su logaritmo : $e^\; del\; \{\backslash \; +\; \backslash \; alfa\; i\; de\; rho\}\; =\; k\; \backslash ;$ Cuando está expresado de esta manera, el $\backslash \; rho$ del número verdadero se convierte en un factor de extensión. Indica cómo es repulsivo es el $\backslash \; gamma\_1$ del punto fijo, y cómo es el $atractivo\; \backslash \; gamma\_2$. El $\backslash \; alpha$ del número verdadero es un factor de la rotación, indicando en qué medida la transformación gira el plano a la izquierda sobre el $\backslash \; gamma\_1$ y a la derecha sobre el $\backslash \; gamma\_2$.

Transformaciones elípticas

Si el $\backslash \; rho\; =\; 0$, entonces los puntos fijos son ni atractivos ni repulsivos pero indiferentes, y la transformación reputa el elíptico. Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en círculos alrededor de los dos puntos fijos. Si uno de los puntos fijos está en el infinito, éste es equivalente a hacer una rotación de la afinación alrededor de un punto.

Si tomamos el subgrupo del Uno-parámetro generado por cualquier transformación elíptica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija el el mismo dos puntos. El resto de los puntos fluyen a lo largo de una familia de círculos que se jerarquice entre los dos puntos fijos en la esfera de Riemann. Generalmente los dos puntos fijos pueden ser cualquier dos puntos distintos.

Esto tiene una interpretación física importante. Imaginarse que algún observador gira con velocidad angular constante sobre un cierto eje. Entonces podemos tomar los dos puntos fijos para ser los postes del norte y sur de la esfera celestial. El aspecto del cielo nocturno ahora se transforma continuamente exactamente de la manera descrita por el subgrupo del uno-parámetro de transformaciones elípticas que comparten, \ infty de los puntos fijos $0,\; y\; con\; el$ \backslash \; alpha$del\; número\; que\; corresponde\; a\; la\; velocidad\; angular\; constante\; de\; nuestro\; observador.$

Aquí están algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación elíptica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Transformaciones hiperbólicas

Si el $\backslash \; alpha$ es cero (o un múltiplo de $2\; \backslash \; de\; pi$), después la transformación reputa el hiperbólico. Estas transformaciones tienden a mover puntos a lo largo de las trayectorias circulares a partir de la una fijada apuntan en la dirección de la otra.

Si tomamos el subgrupo del uno-parámetro generado por cualquier transformación hiperbólica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija el el mismo dos puntos. El resto de los puntos fluyen a lo largo de cierta familia del ausente de los arcos de la circular del primer punto fijo y de hacia el segundo punto fijo. Generalmente los dos puntos fijos pueden ser cualquier dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Esto tiene también una interpretación física importante. Imaginarse que un observador acelera (con la magnitud constante de aceleración) en la dirección del Polo Norte en su esfera celestial. Entonces el aspecto del cielo nocturno se transforma exactamente de la manera descrita por el subgrupo del uno-parámetro de transformaciones hiperbólicas que comparten, \ infty de los puntos fijos $0,\; con\; el$ \backslash \; rho$del\; número\; verdadero\; correspondiendo\; a\; la\; magnitud\; de\; su\; vector\; de\; la\; aceleración.\; Las\; estrellas\; parecen\; moverse\; a\; lo\; largo\; de\; longitudes,\; lejos\; delposte\; del\; surhacia\; el\; Polo\; Norte.\; (Las\; longitudes\; aparecen\; como\; arcos\; circularesbajoproyección\; estereográfica\; de\; la\; esfera\; al\; plano).$

Aquí están algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación hiperbólica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Transformaciones loxodrómicas

Si ambo ρ y α ser diferente a cero, después la transformación reputa el loxodrómico. Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en trayectorias S-shaped a partir de un punto fijo al otro.

El " de la palabra; Loxodrome " es del Griego: " loxos, que se inclina + dromos, " del curso del ;. Cuando navegación en un cojinete constante - si usted mantiene un título (decir) del noreste, usted enrollará eventual para arriba la navegación alrededor del Polo Norte en un espiral logarítmico . En la proyección de Mercator tal curso es una línea recta, pues los postes del norte y sur proyectan al infinito. El ángulo que el loxodrome subtiende concerniente a las líneas de longitud (es decir su cuesta, el " tightness" del espiral) está la discusión del k . Por supuesto, las transformaciones de Möbius pueden tener sus dos puntos fijos dondequiera, no apenas en los postes del norte y sur. Pero cualquier transformación loxodrómica será conyugal a una transformación que mueva todos los puntos a lo largo de tales loxodromes.

Si tomamos el subgrupo del uno-parámetro generado por cualquier transformación loxodrómica de Möbius, obtenemos una transformación continua, tal que cada transformación en el subgrupo fija el el mismo dos puntos. El resto de los puntos fluyen a lo largo de cierta familia de curvas, del ausente del primer punto fijo y del hacia el segundo punto fijo. Desemejante del caso hiperbólico, estas curvas son no arcos circulares, sino ciertas curvas que bajo proyección estereográfica de la esfera al plano aparecen pues las curvas espirales que tuercen a la izquierda infinitamente a menudo alrededor un punto fijo y tuercen a la derecha infinitamente a menudo alrededor del otro punto fijo. Generalmente los dos puntos fijos pueden ser cualquier dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Ustedes puede probablemente conjeturar físico interpretación en caso cuando los dos puntos fijos son $0,\; \backslash \; infty$: un observador que está girando (con velocidad angular constante) sobre un cierto eje y está alzando (con la aceleración constante de la magnitud) a lo largo del el mismo eje de, verá el aspecto del cielo nocturno transformar según el subgrupo del uno-parámetro de transformaciones loxodrómicas con, \ infty de los puntos fijos $0,\; y\; con,\; \backslash \; alpha$ determinado respectivamente por la magnitud de aceleración y velocidad angular del $\backslash \; de\; rho.$

Aquí están algunos cuadros que ilustran el efecto de una transformación loxodrómica:

Proyección estereográfica

estereográficamente proyectado de estas de las imágenes de la demostración transformaciones de Möbius sobre la esfera de Riemann . Observar particularmente que cuando está proyectado sobre una esfera, el caso especial de un punto en el infinito fijo no mira ningún diferente de tener los puntos fijos en una localización arbitraria.

Iteración de una transformación

Si un $de\; la\; transformación\; \backslash \; un\; mathfrak\; \{H\}$ tiene, $\backslash \; gamma\_1\; de\; los\; puntos\; fijos\; \backslash \; gamma\_2$, y el constante k, después $\backslash \; mathfrak\; \{H\}\; “=\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; ^n$ de la característica tendrá” = \ gamma_1, $\backslash \; gamma\_1\; \backslash \; gamma\_2\; =\; \backslash \; gamma\_2,\; k\; =\; k^n$.

Esto puede ser utilizada al itera una transformación, o animar uno rompiéndolo para arriba en pasos.

Estas imágenes demuestran tres puntos (rojo, azul y negro) iterados continuamente bajo transformaciones con varios constantes característicos.

Postes de la transformación

El el $z\_\; del\; del\; punto\; \backslash \; infty\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{c\}$

se llama el poste del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{H\}$; es ese punto que se transforma al punto en el infinito bajo el $\backslash \; mathfrak\; \{H\}$.

El $Z\_\; inverso\; del\; delposte\backslash \; =\; infty\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{c\}$

es ese punto a el cual el punto en el infinito se transforma. El punto situado a mitad del camino entre los dos postes es siempre igual que el punto situado a mitad del camino entre los dos puntos fijos: $\backslash \; gamma\_1\; del$

l + \ gamma_2 = z_ \ infty + Z_ \ infty.

Estos cuatro puntos son las cimas de un paralelogramo que a veces se llame el el paralelogramo característico de la transformación.

Un $de\; la\; transformación\; \backslash \; un\; mathfrak\; \{H\}$ se pueden especificar con dos, $\backslash \; gamma\_1\; \backslash \; gamma\_2$ y el $z\_\; \backslash \; infty$ de los puntos fijos del poste. $del$

l \ mathfrak {H} = \ comenzar {el pmatrix} Z_ \ infty y \ - \ gamma_1 \ gamma_2 \ 1 y - z_ \ infty \, \; del final {pmatrix}\; Z_ \ = infty \ gamma_1 + \ gamma_2 - z_ \ infty.

Esto permite que derivemos una fórmula para la conversión entre $k$ y el $z\_\; \backslash ,\; dado\; infty$ $\backslash \; gamma\_1\; \backslash \; gamma\_2$: $z\_\; del\; \backslash \; =\; infty\; \backslash \; frac\; \{k\; \backslash \; gamma\_1\; -\; \backslash \; gamma\_2\}\; \{1\; -\; k\}$ k$$

del
de \ frac {\ gamma_2 - z_ \ infty} {\ gamma_1 - z_ \ infty}

\ - \ gamma_2 del frac {Z_ \ infty - \ gamma_1} {Z_ \ infty}

\ frac {a - c \ gamma_1} {a - c \ gamma_2},

cuál reduce abajo a = \ frac del $k\; del\; \{(a\; +\; d)\; +\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{(a\; -\; d)^2\; +\; 4\; b\; c\}\}\; \{(a\; +\; d)\; -\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{(a\; -\; d)^2\; +\; 4\; b\; c\}\}.$

La expresión pasada coincide con una del $\backslash \; lambda\_1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; lambda\_2$ de los cocientes del valor propio (mutuamente recíproco) del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{H\}\; del\; de\; la\; matriz\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; pmatrix\}\; de\; a\; y\; de\; b\; \backslash \; \backslash \; c\; y\; d\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ representación de la transformación (comparar la discusión en la sección precedente sobre el constante característico de una transformación). Su polinomio característico es igual al $del\; \backslash \; mbox\; \{det\}\; (\backslash \; lambda\; I\_2-\; \backslash \; mathfrak\; \{H\})$

\ lambda^2- \ mbox {tr} \ mathfrak {} \, \ lambda+ de H

\ mbox {} \ mathfrak {H}

del det \ lambda^2- (a+d) \ lambda+ (anuncio-a.)

cuál tiene raíz

$\backslash \; lambda\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; frac\; \{(a\; +\; d)\; \backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{(a\; -\; d)^2\; +\; 4\; b\; c\}\}\; \{2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{(a\; +\; d)\; \backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{(a\; +\; d)^2\; -\; 4\; (BAD\; c)\}\}\; \{2\}\; \backslash .$

Especificar una transformación por tres puntos

Acercamiento directo

Cualesquiera fijaron de tres puntos del
del $del$
Z_1 = \, \; del mathfrak {H} (z_1)\; Z_2 = \, \; del mathfrak {H} (z_2)\; Z_3 = \ mathfrak {H} (z_3) define únicamente un $\backslash \; un\; mathfrak\; \{H\}$ de la transformación. Para calcular esto hacia fuera, es práctico hacer uso de una transformación sobre la cual pueda trazar tres puntos (0.0), (1, 0) y del punto en el infinito. el $del$

l \ el mathfrak {H} _1 = \ comienzan {pmatrix} \ frac {z_2 - z_3} {z_2 - z_1} y - z_1 \ frac {z_2 - z_3} {z_2 - z_1} \ \ 1 y - z_3 \, \; del final {pmatrix}\; \ el mathfrak {H} _2 = \ comienza {el pmatrix} \ frac {Z_2 - Z_3} {Z_2 - Z_1} y - Z_1 \ frac {Z_2 - Z_3} {Z_2 - Z_1} \ \ 1 y - Z_3 \ extremo {pmatrix}

Uno puede librarse de los infinitos multiplicándose hacia fuera por $z\_2\; -\; z\_1$ y $Z\_2\; -\; Z\_1$ según lo observado previamente. el $del$

l \ el mathfrak {H} _1 = \ comienzan {pmatrix} z_2 - z_3 y z_1 z_3 - z_1 z_2 \ \ z_2 - z_1 y z_1 z_3 - z_3 z_2 \ extremo {pmatrix}, \; \; \ el mathfrak {H} _2 = \ comienza {el pmatrix} Z_2 - Z_3 y Z_1 Z_3 - Z_1 Z_2 \ \ Z_2 - Z_1 y Z_1 Z_3 - Z_3 Z_2 \ extremo {pmatrix}

Matriz $\backslash \; mathfrak\; \{H\}$ trazar $z\_\; \{1.3\}$ sobre $Z\_\; \{1.3\}$ entonces se convierte

$\backslash \; mathfrak\; \{H\}\; =\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; \_2^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; \_1$

Usted puede multiplicar esto hacia fuera, si usted quiere, pero si usted es código de la escritura entonces es más fácil utilizar las variables temporales para los términos medios.

Fórmula determinante explícita

El problema de construir un $\backslash \; un\; mathfrak\; \{H\}\; (z)$ de la transformación de Möbius que trazan un $triple\; (z\_1,\; z\_2,\; z\_3)$ a otro $triple\; (w\_1,\; w\_2,\; w\_3)$ es equivalente a encontrar la ecuación de un $estándar\; del\; de\; lahipérbola\backslash ,\; el\; wz\; de\; c\; -\; az+dw\; -\; b=0$ en ( z, w ) - paso plano a través del $de\; los\; puntos\; (z\_i,\; w\_i)$. Una ecuación explícita se puede encontrar evaluando el $\backslash \; el\; det\; determinantes\; del\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; a\; ZW\; y\; z\; y\; w\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_1w\_1\; y\; z\_1\; y\; w\_1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_2w\_2\; y\; z\_2\; y\; w\_2\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_3w\_3\; y\; z\_3\; y\; w\_3\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \backslash ,$ por medio de una extensión de Laplace a lo largo de la primera fila. Esto da lugar al $a=\; \backslash \; el\; det\; determinantes\; del\; de\; las\; fórmulas\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; z\_1w\_1\; y\; w\_1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_2w\_2\; y\; w\_2\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_3w\_3\; y\; w\_3\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \backslash ,\; el$ b=\; del\; de$\backslash \; el\; det\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash \; z\_2w\_2\; y\; z\_2\; y\; w\_2\; \backslash \; z\_3w\_3\; y\; z\_3\; y\; w\_3\; de\; z\_1w\_1\; y\; de\; z\_1\; y\; \backslash \; de\; w\_1\; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \backslash ,\; el$ c=\; del\; de$\backslash \; el\; det\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; z\_1\; y\; w\_1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_2\; y\; w\_2\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_3\; y\; w\_3\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; \backslash ,\; el$ d=\; del\; de$\backslash \; el\; det\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; z\_1w\_1\; y\; z\_1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_2w\_2\; y\; z\_2\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; z\_3w\_3\; y\; z\_3\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ para el $a\; de\; los\; coeficientes,\; b,\; c,\; d$ del $de\; representación\; de\; la\; matriz\; \backslash ,\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; c\; y\; d\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ de a y de b. El $de\; la\; matriz\; \backslash \; el\; mathfrak\; construidos\; \{H\}$ tiene determinante igual al $(z\_1-z\_2)\; (z\_1-z\_3)\; (z\_2-z\_3)\; (w\_1-w\_2)\; (w\_1-w\_3)\; (w\_2-w\_3)$ que no desaparece si el w_i del z_i respectivamente es en parejas diferente así la transformación de Möbius está bien definido.

Observación: Un determinante similar (con el wz del $substituido\; por\; el$ w^2+z^2$)\; lleva\; a\; la\; ecuación\; de\; un\; círculo\; a\; través\; de\; tres\; diversos\; (el\; non-\; colineal)\; puntos\; en\; el\; plano.$

La otra método usar cruz-cocientes del punto cuadruplica

Esta construcción explota el hecho (mencionado en la primera sección) eso el $del\; del\; Cruz-cociente\; \backslash \; mbox\; \{cr\}\; (z\_1,\; z\_2,\; z\_3,\; z\_4)\; =$ es invariante bajo transformación de Möbius el trazado de un $cuádruple\; (z\_1,\; z\_2,\; z\_3,\; z\_4)$ al $(w\_1,\; w\_2,\; w\_3,\; w\_4)$ vía el $w\_i=\; \backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}\; z\_i$. Si el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}$ traza un $triple(z\_1,\; z\_2,\; z\_3)$ de en parejas diverso i del _{del z a otro $triple\; (w\_1,\; w\_2,\; w\_3)$, entonces}

El $de\; la\; transformación\; de\; Möbius\; \backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}$ es determinado por la ecuación

$\backslash \; mbox\; \{cr\}\; (\backslash \; mathfrak\; \{H\}\; (z),\; w\_1,\; w\_2,\; w\_3)\; =\; \backslash \; mbox\; \{cr\}\; (z,\; z\_1,\; z\_2,\; z\_3),$

o puesto en escrito en términos concretos:

$$

\.

La ecuación pasada se puede transformar en el $del$

\.

Solucionar esta ecuación para el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{H\}\; (z)$ uno obtiene la transformación buscada.

Relación del a la forma normal del punto fijo

Asumir que, \, del $z\_2\; de\; los\; puntos\; z\_3$ es los dos (diversos) puntos fijos del Möbius transforma, \, del $\backslash \; del$ w\_2=z\_2\; del\; mathfrak\; \{H\}$es\; decir\; w\_3=z\_3$. Escribir, = \ gamma_1 del $z\_2\; \backslash ,\; z\_3\; =\; \backslash \; gamma\_2$. La ecuación pasada

$$

entonces lee

$$

\ cdot \.

En la sección anterior en forma normal que un Möbius transforma con dos, $\backslash \; gamma\_1\; de\; los\; puntos\; fijos\; \backslash \; gamma\_2$ fue expresado usar el constante característico k de la transformación como

$$

k \, \.

Comparar ambas expresiones una deriva la igualdad ), \ gamma_2 del k== \ del mbox del $del$

l {cr} (w_1, z_1, \ gamma_1 \,

donde está diferente el $z\_1$ del, $\backslash \; gamma\_1\; de\; los\; puntos\; fijos\; \backslash ,\; \backslash \; gamma\_2$ y $w\_1=\; \backslash \; mathfrak\; \{H\}\; (z\_1)$ está la imagen del z₁ bajo el $\backslash \; mathfrak\; \{H\}$. Particularmente el cruz-cociente, \ gamma_2 del $\backslash \; del\; mbox\; \{cr\}\; (\backslash \; mathfrak\; \{H\}\; (z),\; \backslash \; gamma\_1\; de\; z)$ no depende de la opción del z del punto (diferente de los dos puntos fijos) y es igual al constante característico.

Ver también

style=" del
Grupo de Fuchsian
Geometría hiperbólica
Geometría inversiva del anillo
Grupo de Kleinian
Grupo de Lorentz
Grupo modular
Modelo del mitad-plano de Poincaré
Geometría descriptiva
El bilineario transforma
Transformación de la inversión
Círculo generalizado