Transformación de la covariante - Enciclopedia España

En la física, una transformación de la covariante del es una regla (especificada abajo), que describe cómo ciertas entidades físicas cambian bajo cambio del sistema coordinado . Particularmente el término se utiliza para los vectores y los tensores la transformación que describe el nuevo de la base vectors en términos de vieja base, se definen como transformación de la covariante del . Convencionalmente, los índices que identifican los vectores de la base se ponen mientras que índices más bajos y son tan todas las entidades que transforman de la misma manera. Lo contrario de la transformación de la covariante se llama la transformación de Contravariant del . Los vectores del transforman según la regla de la covariante, pero los componentes del de un vector transforman según la regla contravariant. Convencionalmente, los índices que identifican los componentes de un vector se ponen mientras que los índices superiores y son tan todos los índices de las entidades que transforman de la misma manera. La adición sobre todos los índices de un producto con los mismos índices más bajos y superiores, es el invariante a una transformación.

Un vector sí mismo es una independiente geométrica de la cantidad en principio (invariante) del sistema coordinado elegido. Un v del vector se da, por ejemplo, en los componentes vⁱ en un elegido e _i de la base, relacionado con un x ⁱ del sistema coordinado (los vectores de la base son vectores de la tangente a la rejilla coordinada). Sobre otra base, decir ${\ mathbf e} “_i$ , relacionado con un nuevo $coordinado {” \; de x}^i$ , el mismo v del vector tiene diversos componentes $v'\; ^i$ y $del {\ mathbf v} = \ = \ sum_i {v'\ del _i del v^i del sum_i {\ mathbf e};}_i del ^i {\ mathbf e} '$ (en la notación supuesta de Einstein la muestra de adición se omite a menudo, implicando la adición sobre los mismos índices superiores y más bajos que ocurren en un producto). Con el v como invariante y la covariante de transformación del ${\ mathbf e} _i$ , debe ser que los $v^i$ (el sistema de números que identifican los componentes) transforman en una manera diferente, lo contrario llamado la regla contravariant de la transformación.

Si, por ejemplo en un espacio euclidiano dévil 2, los nuevos vectores de la base se giran a la derecha con respecto a los viejos vectores de la base, después aparecerá en términos de nuevo sistema que los componentes del de la mirada del vector como si el vector fuera girado a la izquierda (véase la figura). ----

style=" del el v del vector del A de

se describe en una rejilla coordinada dada (líneas negras) sobre una base que son los vectores de la tangente (aquí) a la rejilla coordinada rectangular. Los componentes son

v_x

v_y

. En otro sistema coordinado (estrallado y rojo), la nueva base es vectores de la tangente en la dirección y el perpendicular radiales a ella. Aparecen girados a la derecha con respecto a la primera base. El de la transformación de la covariante del de aquí es una rotación a la derecha. Los componentes en rojo se indican como

v_r

v_ \ phi

. Si vemos los nuevos componentes con

v_r

señalados hacia arriba, aparece como si los componentes se giren a la izquierda. El contravariant de la transformación de es una rotación en sentido contrario a las agujas del relojdejktw'n. clear=all> del

Ejemplos de la transformación de la covariante

El derivado de una función transforma covariantly

La forma explícita de una transformación de la covariante se introduce mejor con las características de la transformación del derivado de una función. Considerar un f de la función escalar (como la temperatura en un espacio) definido en un sistema del p de los puntos, identificable en, dado \; del $x^i coordinado del sistema i=0,1,…$ (tal colección se llama un múltiple ). Si adoptamos un nuevo ^j del $del sistema de coordenadas {x'\,}, j=0,1,…$ entonces para cada i, el $coordinado original {x} ^i$ se puede expresar como función del nuevo sistema, tan ^i del ${x} ({x'\,} el ^j), j=0,1,…$ Uno puede expresar el derivado del f en nuevos coordenadas en términos de viejos coordenadas, usar la regla de cadena del derivado, como $del \ frac {\ f parcial \;}{\ {x'\,} ^i parcial} = \ sum_j \ frac {\ f parcial \;}{\ {x}} parcial \; del ^j \ frac {\ ^j parcial {x} \;}{\ {x'\,} ^i parcial}$ Ésta es la forma explícita de la regla de la transformación de la covariante del . La notación de un derivado normal con respecto a los coordenadas utiliza a veces una coma, como sigue $del f_ {,} \ \ de i \ \ frac {\ f parcial del stackrel {\ mathrm {def}} {=} \;}{\ x^i parcial}$ donde el i del índice se pone como índice más bajo, debido a la transformación de la covariante.

Los vectores de la base transforman covariantly

Un vector se puede expresar en términos de vectores de la base. Para cierto sistema coordinado, podemos elegir la tangente de los vectores a la rejilla coordinada. Esta base se llama la base coordinada.

Para ilustrar las características de la transformación, considerar otra vez el sistema del p de los puntos, identificable en un sistema coordinado dado $x^i$ donde $i=0,1,…$ (múltiple ). Un f, de que de la función escalar asigna un número verdadero a cada p del punto en este espacio, es una función del $f de los coordenadas \; (x^0, x^1,…)$ . Una curva es una colección del uno-parámetro del c de los puntos, dice con el λ del parámetro de la curva, c (λ). Un v del vector de la tangente a la curva es el derivado $df/d \ lambda$ a lo largo de la curva con el derivado tomado en el p del punto considerado. Observar que podemos ver el vector v de la tangente del como operador cuál se puede aplicar a un \ \ stackrel del $del de la función {\ mathbf v} {\ mathrm {def}} {=} \ \ = \ frac {d del frac {df} {d \ lambda} \; \;}{d \ lambda} f (c (\ lambda))$ Paralelo entre tangente vector y operador puede también estar resuelto en coordenada

${\ mathbf v} = \ sum_i \ frac {dx^i} {} \ frac {\ f parcial} de d \ de la lambda {\ x^i parcial}$ o en términos de ${\ mathbf v} = \ frac {dx^i} {} \ frac de d \ de la lambda {\ parcial \; \;}{\ x^i parcial} = \ {\ mathbf e} del frac {dx^i} {d \ lambda} _i$ donde hemos escrito _i del ${\ mathbf e} = \ x^i$ parciales \ parciales, los vectores de la tangente a las curvas que son simplemente la rejilla coordinada sí mismo.

Si adoptamos nuevo, \; del ^i del $del sistema de coordenadas {x'\,}i=0,1,…$ entonces para cada i, el viejo $coordinado {x^i}$ se puede expresar como función del nuevo sistema, tan $x^i ({x'\,} el ^j), j=0,1,…$ Dejar _i del ${\ mathbf e} el “= {\ parcial \;}/{\ {” \, de x} ^i parcial}$ sea la base, vectores de la tangente en este nuevo sistema de coordenadas. Podemos expresar el ${\ mathbf e} _i$ en el nuevo sistema aplicando la regla de cadena en el x . En función de coordenadas encontramos el $del de la transformación {\ mathbf e} “= \ frac del _i {\ parcial \; \; \;}{\ {” \, de x} ^i parcial} = \ frac {\ x^j parcial \;}{\ {x'\,} ^i parcial} \ frac {\ parcial \; \; \;}{\ x^j parcial} = \ frac {\ x^j parcial \; \;}{\ {x'\,} ^i parcial \;} {\ mathbf e} _j$ cuál es de hecho igual que la transformación de la covariante para el derivado de una función.

Transformación de Contravariant

Los componentes vector de a (tangente) transforman en una manera diferente, llamada transformación contravariant. Considerar un v del vector de la tangente y llamar sus componentes $v^i$ en un $de la base {\ mathbf e} _i$ . Sobre otra base “\, del ${\ mathbf e} _i$ llamamos el ^i , tan $del de los componentes {” \, de v} del {\ mathbf v} = \ _i del v^i del sum_i {\ mathbf e} = \ '\, del ^i del sum_i {v'\,} {\ mathbf e} _i en qué = \ frac {dx^i} {d \ lambda del v^i del del \;} \; \ mbox {y} \; {v'\,} = \ frac del ^i {^i} de d {x'\,} {d \ lambda \; \;} Si expresamos los nuevos componentes en términos de los viejos, entonces el del {v'\,} = \ frac del ^i {^i} de d {x'\,} {d \ lambda \; \;} = \ frac {\ {x'\,} ^i parcial} {\ x^j parcial} \ frac {dx^j} {d \ lambda \; \;} = \ frac {\ {x'\,} ^i parcial} {\ x^j parcial} {v} ^j Ésta es la forma explícita de una transformación llamada la transformación contravariant y observamos que es diferente y apenas lo contrario de la regla de la covariante. Para distinguirlos de los vectores de la covariante (tangente), el índice se pone en tapa.$

Las formas diferenciadas transforman contravariantly

Un ejemplo de una transformación contravariant es dado por a diferenciado df de la forma. Para el f en función de los coordenadas $x^i$ , df puede ser expresado en términos de $dx^i$ . El dx del de los diferenciales transforma según la regla contravariant desde = \ sum_j \ frac {\ {x'\,} ^i parcial} del ^i del $d {x'\ del ,} {\ ^j parcial {x} \; \;} {^j del dx}$

Características duales

Las entidades que transforman covariantly (como vectores de la base) y las que transforman contravariantly (como componentes de un vector y de las formas del diferencial) son " casi el same" pero son diferentes. Tienen " dual" características. Cuál está detrás de esto, se conoce matemáticamente como Espacio dual que va siempre junto con un espacio de vector linear dado .

Tomar cualquier espacio de vector linear T y dejar el ${\ mathbf e} _i$ sea una base para este espacio. Considerar una función verdadera linear definida en este espacio linear. Si el v y el w es dos vectores en este espacio de vector, después un f de la función verdadera (con vectores como discusión) se llama una función linear si ambo (para cualquie v, el w y el α escalar) el $f del ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) = f ({\ mathbf v}) + = \ alfa f ({\ mathbf v})$ del $f del de f ({\ mathbf w})$ (\ alfa {\ mathbf v})

Un ejemplo simple es la función que asigna valor de uno de sus componentes (el supuesto función de proyección). Tiene un vector como discusión y asigna un número verdadero, el valor de un componente.

Todas tales funciones lineares juntas forman un linear espacio solo. Se llama el espacio dual del T. Uno puede ver fácilmente que, de hecho, el f+g de la suma es otra vez una función linear para el linear f y el g aplicando el f+g a un v de la suma + el w . Y que igual se sostiene para el escalar f del α de la multiplicación.

Podemos definir una base, llamada el la base dual en este espacio de una manera natural por que toma el sistema de funciones lineares mencionadas anteriormente: las funciones de proyección. Tan ω de esas funciones ese producto el número 1 cuando se aplican a uno del $del vector de la base {\ mathbf e} _i$ . Por ejemplo el ${\ Omega} ^0$ da un 1 en el ${\ mathbf e} _0$ y cero a otra parte. Aplicación de este $de la función linear {\ Omega} ^0$ a un vector el =v^i del ${\ mathbf v} {\ mathbf e} _i$ , da (usar sus linearidades) el $del \ omega^0 ({\ mathbf v}) = \ omega^0 (_i del v^i {\ mathbf e}) = v^i \ omega^0 ({\ mathbf e} _i) = v^0$ tan apenas el valor del primer coordenada. Por esta razón se llama la función de proyección del .

Hay tantos vectores duales de la base el $\ omega^i$ como allí es el $de los vectores de la base {\ mathbf e} _i$ , el espacio dual tiene tan la misma dimensión que el linear espacio sí mismo. Es " casi el mismo space", salvo que los elementos del espacio dual (llamado el los vectores duales ) transformar contravariant y los elementos del espacio de vector de la tangente transforman covariante.

Una notación adicional se introduce a veces donde el verdadero valor de un σ de la función linear en un vector de la tangente el u se da como el $\ sigma u del }: = \ langle \ sigma, {\} \ rangle del mathbf u$ donde $\ langle \ sigma, {\} \ rangle$ del mathbf u está un número verdadero. Esta notación acentúa el carácter bilineario de la forma. es linear en el σ desde entonces que es una función linear y su es linear en el u desde entonces que es un elemento de un espacio de vector.

Componentes Co- y contravariant del tensor

Sin coordenadas

Con la ayuda de la sección del espacio dual, un tensor del $espeso (^r_s)$ se define simplemente como función multilinear con valores reales de los vectores duales del r y de los vectores del s en un p del punto. Un tensor se define tan en un punto. Es una máquina linear: alimentarlo con vectores y los vectores duales y él produce un número verdadero. Puesto que los vectores (y los vectores duales) son coordenada definido independiente, esta definición de un tensor está también libre de coordenadas y no hace depender de la opción de un sistema coordinado. Ésta es la importancia principal de tensores en la física.

La notación de un tensor es el $T (\ sigma, \, \ rho, {\ mathbf u}, \ los ldots, {\ mathbf v} de los ldots) del \; \ mbox {o como} \; {T^ {\ sigma \ ldots \ rho}} _ {{\ mathbf u} \ ldots {\ mathbf v}}$ para el ρ de los vectores (formas diferenciadas), el σ y el $duales de los vectores de la tangente {\ mathbf u}, {\ mathbf v}$ . En la segunda notación la distinción entre los vectores y las formas diferenciadas son más obvias.

Con coordenadas

Porque un tensor depende linear de sus discusiones, es totalmente resuelto si uno sabe los valores en a $\ omega^i \ ldots \ omega^j$ de la base y _k del $(\ omega^i, \, \ omega^j, {\ mathbf e} _k \ _l de los ldots de los ldots {\ mathbf e}) = {T^ {i \ ldots j}} _ {k \ ldots l}$ El _ del $de los números {T^ {i \ ldots j}} {k \ ldots l}$ se llama componentes del del tensor sobre la base elegida .

Si elegimos otra base (de quienes es una combinación linear la base original), podemos utilizar las características lineares del tensor y encontraremos que los componentes del tensor en los índices superiores transformar como vectores duales (tan contravariant), mientras que los índices más bajos transformará como la base de los vectores de la tangente y son así covariante. Para un tensor de la fila 2, podemos verificar fácilmente ese $del = \ frac {\ x^l parcial} del A'_ {i j} {\ {x'\,} ^i parcial} \ frac {\ x^m parcial} {\ {x'\,} ^j parcial} A_ {l m} tensor de la covariante del de$

${A'\,} = \ frac {\ {x'\,} ^i parcial} del ^ {i j} {\ x^l parcial} \ frac {\ {x'\,} ^j parcial} {\ x^m parcial} A^ {l m} tensor contravariant de$

Para un tensor co- y contravariant mezclado del $del de la fila 2 {A'\,} ^i_j= \ frac {\ {x'\,} ^i parcial} {\ x^l parcial} \ frac {\ x^m parcial} {\ {x'\,} ^j parcial} A^l_m el de$ mezcló el tensor co- y contravariant

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