En la teoría de la categoría, una rama de las matemáticas, una transformación natural proporciona una manera de transformar un Functor en otro mientras que respeta la estructura interna (es decir la composición Morphisms de las categorías implicadas. Por lo tanto, una transformación natural se puede considerar para ser un " morphism del functors". Esta intuición se puede formalizar de hecho para definir las categorías supuestas del functor. Las transformaciones naturales están, después de categorías y de functors, una de las nociones más básicas de la álgebra categórica y por lo tanto aparecen en la mayoría de sus usos.

Definición

Si el F y el G es el Functors entre el C de las categorías y el D, después un η natural de la transformación del F a el G asocia a cada X del objeto en el C un &eta de Morphism ; X del _{: El G ( X ) del → del F ( X ) en el D llamó el componente del η en el X, tal que para cada f del morphism: El Y del → del X en el C tenemos F ( f ) del Y} o del η _{= el X} del η _{de G ( f ) o del . Esta ecuación se puede expresar convenientemente por el diagrama comutativo}

Si el F y el G son el contravariant, las flechas horizontales en este diagrama se invierten. Si η es una transformación natural del F a el G, nosotros también escribe η : &rarr del F ; G . Esto también es expresada diciendo la familia de &eta de los morphisms; X del _{: El G ( X ) del → del F ( X ) es el natural en el X .}

Si, para cada X del objeto en el C, el &eta del morphism; el X del _{es un isomorfismo en el D, entonces η reputa un isomorfismo natural (o a veces la equivalencia natural o el isomorfismo del de los functors ). El F de dos functors y el G se llaman el naturalmente isomorfo o simplemente el isomorfo si existe un isomorfismo natural del F a el G .}

Un η infranatural de la transformación del F a el G es simplemente una familia del X del η _{de los morphisms: G ( X ) DEL → DEL F ( X ). Así una transformación natural es una transformación infranatural para la cual el F ( f ) del Y} o del η _{= el X} del η _{de G ( f ) o del para cada f del morphism: Y DEL → DEL X . El naturalizer del η, nacional (η), es la subcategoría más grande C que contiene todos los objetos del C en los cuales el η restringe a una transformación natural.}

Ejemplos

Un ejemplo trabajado

Las declaraciones tienen gusto del " del ; Cada grupo es naturalmente isomorfo a su group" opuesto; abundar en matemáticas modernas. Ahora daremos el significado exacto de esta declaración así como su prueba. Considerar el Grp de la categoría de todos los grupos con los homomorphisms del grupo como morphisms. Si ( G, *) es un grupo, definimos su grupo opuesto ( G ^op, *^op) como sigue: El G ^op es el mismo sistema que el G, y la operación *^op es definida por el un b de *^op = el b * un . Todas las multiplicaciones en el G ^op son así " around" dado vuelta;. La formación enfrente del grupo de se convierte en a (la covariante!) functor del Grp al Grp si definimos el f ^op = el f para cualquier f del homomorfismo del grupo: &rarr de G del ; H . Observar que el f ^op es de hecho un homomorfismo del grupo del G ^op a el H ^op: f ^op ( del un b de *^op) = f ( b * un ) = f ( b ) * f ( un ) = f ^op ( b ) del f ^op ( un ) *^op. El contenido de la declaración antedicha es: " del ; El Grp de Id _{del functor de la identidad: Grp → El Grp es naturalmente isomorfo al functor opuesto - ^op: Grp → Grp . " Para probar esto, necesitamos proporcionar &eta de los isomorphisms; G} del _{: &rarr de G del ; G ^op para cada G, tal del grupo que el diagrama antedicho conmuta. Fijar el η G} ( del _{un ) = un ^-1. Las fórmulas ( ab ) ^-1 = del b ^-1 un ^-1 y ( un ^-1) ^-1 = una demostración de que η el G} del _{es un homomorfismo del grupo que es su propio lo contrario. Para probar el naturality, comenzamos con un f del homomorfismo del grupo: &rarr de G del ; H y &eta de la demostración; f del H} o del _{= &eta del f ^op o; G} del _{, es decir ( f ( un ))^-1 = f ^op ( un ^-1) para todo el un en el G . Esto es verdad puesto que el f ^op = el f y cada homomorfismo del grupo tiene la característica ( f ( un ))^-1 = f ( un ^-1).}

Otros ejemplos

Si el K es un campo, después para cada V del espacio de vector sobre el K tenemos un " natural" &rarr linear del V del mapa inyectivo; V ** del espacio de vector en su doble dual. Estos mapas son " natural" en el sentido siguiente: la operación dual doble es un functor, y los mapas forman una transformación natural del functor de la identidad al functor dual doble.

Cada espacio de vector dimensional finito es también isomorfo a su espacio dual. Pero este isomorfismo confía en una opción arbitraria de la base, y no es natural, aunque hay una transformación infranatural. Más generalmente, cualquier espacio de vector con la misma dimensionalidad es isomorfo, pero no naturalmente tan. (La nota sin embargo que si el espacio tiene una forma bilinearia Nondegenerate, después allí es al isomorfismo natural entre el espacio y su dual. Aquí el espacio se ve mientras que un objeto en la categoría de espacios de vector y de transporta de mapas.)

Considerar el Ab de la categoría de los grupos abelianos y agrupar los homomorphisms. Para todo el X de los grupos abelianos, el Y y el Z tenemos un &rarr de Hom del del isomorfismo del grupo ( Y del X, Z ); Hom ( X, Hom ( Y, Z )). Estos isomorphisms son " natural" en el sentido que definen una transformación natural entre los dos × implicados del Ab de los functors; × del Ab ^op del ; &rarr del Ab ^op del ; Ab .

Las transformaciones naturales se presentan con frecuencia conjuntamente con los functors de Adjoint. De hecho, los functors del adjoint son definidos por cierto isomorfismo natural. Además, cada par de functors del adjoint viene equipado de dos transformaciones naturales (generalmente no isomorphisms) llamadas la unidad del y el counit del .

Operaciones con transformaciones naturales

Si η : &rarr del F ; G y ε : &rarr de G del ; El H es transformaciones naturales entre el F, G, H de los functors: &rarr del C ; El D, entonces podemos componerlos para conseguir un &epsilon natural de la transformación; η : &rarr del F ; H . Éste es componentwise hecho: (ε η) X del = ε X &eta del _{; X} del _{. Este " composition" vertical; de la transformación natural está el asociativo y tiene una identidad, y permite que uno considere la colección de todo el &rarr del C de los functors; D sí mismo como categoría (véase abajo bajo categorías de Functor).}

Las transformaciones naturales también tienen un " composition" horizontal;. Si η: &rarr del F ; El G es una transformación natural entre el F, G de los functors: &rarr del C ; D y ε: &rarr del J ; El K es una transformación natural entre el J, K de los functors: &rarr del D ; El E, entonces la composición de functors permite una composición del &eta natural de las transformaciones; ˆ ε: JF → kilogramo . Esta operación es también asociativa con identidad, y la identidad coincide con ésa para la composición vertical. Las dos operaciones son relacionadas por una identidad que intercambie la composición vertical por la composición horizontal.

Si η : &rarr del F ; El G es una transformación natural entre el F, G de los functors: &rarr del C ; D, y H : &rarr del D ; El E es otro functor, después podemos formar el &eta natural del H de la transformación; : &rarr del HF del ; hectogramo definiendo (&eta del H ;) X DEL = H (Η X del _{). Si por una parte K : &rarr del B ; El C es un functor, el &eta natural de la transformación; K : &rarr de las FK del ; El GK se define cerca (η X DEL DEL K ) = Η K ( X )} DEL _.

Categorías de Functor

considera también:

la categoría de Functor Si el C es cualquier categoría y el I es una pequeña categoría, podemos formar el C^I de la categoría de Functor que tiene como objetos todos los functors del I al C y como morphisms las transformaciones naturales entre esos functors. Esto forma una categoría puesto que para cualquier F del functor hay un natural F de la transformación 1 _{de la identidad: &rarr del F ; F (que asigna a cada X del objeto el morphism de la identidad en el F ( X )) y la composición de dos transformaciones naturales (el " composition" vertical; sobre) está otra vez una transformación natural.}

El Isomorphisms en el C^I es exacto los isomorphisms naturales. Es decir, un &eta natural de la transformación; : &rarr del F ; El G es un isomorfismo natural si y solamente si existe un &epsilon natural de la transformación; : &rarr de G del ; F tales que η ε = 1 _G y ε η = 1 _F .

El C^I de la categoría del functor es especialmente útil si el I se presenta de un gráfico dirigido . Por ejemplo, si el I es la categoría del &bull dirigido del gráfico; → •, entonces el C^I tiene como objetos los morphisms del C, y morphism entre el φ : &rarr del U ; V y ψ : &rarr del X ; El Y en el C^I es un par del f de los morphisms: &rarr del U ; X y g : &rarr del V ; Y en el C tales que el " commutes" cuadrado;, es decir ψ f = &phi de g del ;.

Más generalmente, uno puede construir el gato de la categoría 2 cuyo
las células 0 (objetos) son las pequeñas categorías,
las células 1 (flechas) entre dos objetos $C$ y $D$ son los functors de $C$ a $D$,
2 células entre $F\; de\; dos\; 1\; células\; (functors):\; C\; \backslash \; a\; D$ y al $G:\; C\; \backslash \; a\; D$ es las transformaciones naturales de $F$ a $G$. Las composiciones horizontales y verticales son las composiciones entre las transformaciones naturales descritas previamente. Una categoría $C^I$ del functor es entonces hom-fijó simplemente en esta categoría (ediciones de la pequeñez a un lado).

Lema de Yoneda

considera también:

l lema de Yoneda Si el X es un objeto del C de la categoría, después el C ( X, Y ) del $\backslash \; mapsto$ Hom _{del Y de la asignación define un X} del _{del F del functor de la covariante: &rarr del C ; determinado. Este functor se llama el representable del (más generalmente, un functor representable es cualquier functor naturalmente isomorfo a este functor para una opción apropiada del X ). Las transformaciones naturales de un functor representable a un arbitrario F del functor: &rarr del C ; El determinado es sabido totalmente y fácil de describir; éste es el contenido del lema de Yoneda.}

Notas históricas

El carril, uno del mac de Saunders de los fundadores de la teoría de la categoría, se dice para haber comentado, " No inventé categorías para estudiar functors; Los inventé para estudiar transformations." natural; Apenas pues el estudio de los grupos no es completo sin un estudio de los homomorphisms, así que el estudio de categorías no es completo sin el estudio Functors que la razón del comentario del carril del mac es que el estudio de functors es sí mismo no completo sin el estudio de transformaciones naturales.

El contexto de la observación del carril del mac era la teoría axiomática de la homología . Las maneras diferentes de construir la homología se podían demostrar para coincidir: por ejemplo en el caso de un Simplicial complejo los grupos definidos directo, y de los de la teoría singular, serían isomorfos. Qué no se puede expresar fácilmente sin la lengua de transformaciones naturales es cómo los grupos de la homología son compatibles con morphisms entre los objetos, y cómo dos teorías equivalentes de la homología no sólo tienen la misma homología agrupan, pero también los mismos morphisms entre esos grupos.