El Kosterlitz del - la transición de Thouless, o la transición de Berezinsky-Kosterlitz-Thouless, es una transición especial considerada en el modelo XY para los sistemas de la vuelta que obran recíprocamente en 2 dimensiones espaciales. El modelo XY es un modelo de 2 dimensiones de la vuelta del vector que posee el U (1) o simetría circular. No se espera que este sistema posea una transición de fase normal de la orden segundo . Esto está porque la fase pedida prevista del sistema es destruida por fluctuaciones transversales, es decir los modos de Goldstone (véase el bosón de Goldstone) asociados a esta simetría continua quebrado, que divergen logarítmico con tamaño de sistema. Éste es un caso específico de qué se llama el teorema de Mermin-Wagner en sistemas de vuelta.

Transición del KT: Fases desordenadas con diversas correlaciones

En el modelo XY en dos dimensiones, una transición de fase de la segunda orden no se considera. Sin embargo, uno encuentra una fase desordenada de la baja temperatura con una correlación de la ley de energía (véase la función de correlación (mecánicos estadísticos) ), con una energía del dependiente de la temperatura. La transición a partir de la fase desordenada da alta temperatura con la correlación exponencial a esta fase desordenada de la baja temperatura con una correlación de la ley de energía es Transición de Kosterlitz-Thouless.

Papel de vórtices

En el modelo XY en 2 dimensiones, los vórtices son topológico configuraciones estables. Se encuentra que la fase desordenada da alta temperatura con la correlación exponencial es a resultado de la formación de vórtices. La temperatura en la cual la transición del KT ocurre está de hecho la en las cuales generación del vórtice llega a ser termodinámico favorable. En las temperaturas debajo de esto, el sistema tiene una correlación de la ley de energía.

Descripción informal

Hay una discusión termodinámica muy elegante para la transición del KT. La energía de un solo vórtice está del $\backslash \; de\; la\; kappa\; \backslash \; del\; ln\; de\; la\; forma$ (ya montado), donde está un parámetro el $\backslash \; kappa$ dependiendo del sistema que el vórtice está adentro, $R$ es el tamaño de sistema, y $a$ es el radio de la base del vórtice. Asumimos $R>>a$. El número de posiciones posibles de cualquier vórtice en el sistema es aproximadamente el $^2$ (ya montado). ley de s de Boltzmann (de ya montado) la ', la entropía es $S=2k\_B\; \backslash \; el\; ln$, donde está $k\_B$ constante de Boltzmann. Así, la energía libre de Helmholtz es $F\; del$

l = E - TS = (\ kappa - 2k_BT) \ ln (ya montado).

Cuando $F>0$, el sistema es inestable a tener un vórtice. Sin embargo cuando , las condiciones son suficientes para que un vórtice esté en el sistema. Definimos la temperatura de transición para $F=0$. Así, = \ frac {\ kappa} {2k_B} del $T\_c\; del$

l .

Análisis riguroso

Tenemos un &phi del campo; sobre el plano que adquiere valores en S¹. Para la conveniencia, trabajamos con su universal R de la cubierta en lugar de otro pero identificamos cualquier dos valores del φ (x) que diferencia por un múltiplo de número entero de 2π.

La energía se da cerca

$E=\; \backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; d^2x$

y el factor de Boltzmann es exp (- β E).

Si tomamos el $\backslash \; el\; oint\_\; \backslash \; la\; gamma\; d\; \backslash \; phi$ del integral de contorno sobre cualquier &gamma cerrado de la trayectoria;, esperaríamos que fuera cero si γ es contractible, que es lo que esperaríamos para una curva planar. Pero aquí está el retén. Asumir que la teoría XY tiene un atajo ULTRAVIOLETA que requiera una cierta terminación ULTRAVIOLETA. Entonces, podemos tener punturas en el plano, agujeros tan a hablar de modo que si γ es una trayectoria cerrada que enrolla una vez alrededor de la puntura, $\backslash \; oint\_\; \backslash \; gamma\; d\; \backslash \; phi$ es solamente un múltiplo de número entero de 2π. Estas punturas se llaman los vórtices y si γ es una trayectoria cerrada que enrolla solamente una vez a la izquierda alrededor de la puntura y su número de la bobina sobre cualquier otra puntura es cero, después la multiplicidad del número entero se puede atar al vórtice sí mismo. Digamos una configuración del campo tiene punturas de n en x_i, i=1,…, n con los multiplicities n_i. Entonces, φ se descompone en la suma de una configuración sin punturas, &phi del campo; ₀ y el n_i del ^n del $\backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; el\; arg\; (z-z\_i)$ donde hemos cambiado al plano complejo coordina para la conveniencia. El 3ultimo término tiene cortes de rama, por supuesto, pero desde φ es solamente el modulo definido 2π son unphysical.

Ahora,

$E=\; \backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; d^2x+\; \backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^n\; n\_i\; \backslash \; arg\; ()\; \backslash \; cdot\; \backslash \; n\_i\; del\; ^n\; del\; nabla\; \backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; arg\; (z-z\_i)\; d^2x$ del z-z_i

Es fácil ver eso a menos que el ^n n_i=0 del $\backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\},\; el\; segundo\; término\; seainfinitopositivo,\; haciendo\; que\; el\; Boltzmann\; descompone\; en\; factores\; cero\; que\; signifique\; que\; podemos\; olvidar\; todos\; sobre\; él.$

Cuando el ^n n_i=0 del

Éste no es nada con excepción de un gas del culombio, por supuesto. La escala L no contribuye nada sino un constante.

Miremos el caso con solamente un vórtice del vórtice de la multiplicidad una y una de la multiplicidad -1. En las bajas temperaturas, es decir &beta grande;, debido a el factor de Boltzmann, el par del vórtice-antivortex tiende a estar extremadamente cerca de uno otro. De hecho, su separación estaría alrededor de la escala del atajo. Con más vórtice-antivortex se aparea, nosotros tienen una colección de dipolos del vórtice-antivortex. En las temperaturas grandes, es decir pequeño β, la distribución de probabilidad hace pivotar la otra manera alrededor y tenemos un plasma de vórtices y de antivortices. La transición de fase entre los dos es la transición de fase de Kosterlitz-Thouless.

Ver también

Bosón de Goldstone
Modelo de Ising
Modelo de Potts
Vórtice de Quantum
Película superfluida
Defecto topológico

.

Zenithic

Rudolf König

Random links:

Bukavu | Conferencia de Biltmore | Medalla del transporte 9-11 | Al-Jumua | Vlaakith