En las matemáticas, en el subcampo de la topología geométrica, el que traza el grupo de la clase es un invariante algebraico importante de un espacio topológico . Breve, el grupo de trazado de la clase es un grupo discreto de “simetrías” del espacio.

Definición

Suponer que el X es un espacio topológico. Dejar $del$

l {\ rm Homeo} (X)

ser el grupo del uno mismo-homeomorphisms X . Dejar $del$

l {\ rm Homeo} _0 (X)

ser el subgrupo del $\{\backslash \; rm\; Homeo\}\; (X)$ que consiste en todo el isotópico de los homeomorphisms al mapa de la identidad en el X . Es fácil verificar que el $\{\backslash \; rm\; Homeo\}\; \_0\; (X)$ es de hecho un subgrupo y es el normal . El grupo de factor $del$

l {\ magnetocardiograma del rm} (x) = {\ rm Homeo} (x)/{\ rm Homeo} _0 (X)

es el que traza el grupo de la clase del X . Así hay una secuencia exacta del cortocircuito natural:

$1\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; rm\; Homeo\}\; \_0\; del\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; rm\; Homeo\}\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; magnetocardiograma\; del\; rm\}\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; 1$

Como de costumbre, hay interés en los espacios donde este de la secuencia parte .

Algunos matemáticos, cuando el X es un múltiple de Orientable, restringen la atención al $de\; los\; homeomorphisms\; Orientación-que\; preserva\; \{\backslash \; rm\; Homeo\}\; ^+(X)$. Aquí la convención dicta que llamen el grupo definido en el segundo párrafo el ampliado que traza el grupo de la clase, MCG* ( X ).

Si el grupo de trazado de la clase del X es finito entonces el X a veces se llama el rígido.

Ejemplos

Es un ejercicio fácil a probar: $del$

l {\ rm MCG^*} (S^2) = {\ mathbb Z} /2 {\ mathbb Z}.

El grupo de trazado de la clase puede también ser infinito. Tomando $T^n$ para ser el n - el toro dimensional encontramos que el grupo de trazado extendido de la clase es el isomorfo al grupo linear general sobre los números enteros $del$

l {\ rm MCG^*} (T^n) = {\ rm GL} (n, {\ mathbb Z}).

Los grupos de trazado de la clase de las superficies se han estudiado pesadamente. (Observar el caso especial del $\{\backslash \; rm\; MCG^*\}\; (T^2)$ arriba.) Esto es quizás debido a su semejanza extraña a los grupos lineares de una fila más alta así como muchos usos, vía los paquetes de la superficie en teoría de s de Thurston 'de los Tres-múltiples geométricos que observamos que el grupo de trazado no extendido de la clase de cualquier superficie cerrada, orientable se puede generar por las torceduras de Dehn

Algunas superficies de Non-orientable tienen trazado de grupos de la clase con presentaciones simples. Por ejemplo, cada homeomorfismo del $descriptivo\; verdadero\; del\; plano\; \{\backslash \; mathbb\; RP\}\; ^2$ es isotópico a la identidad: $del$

l {\ magnetocardiograma del rm} ({\ mathbb RP} ^2) = 1.

El grupo de trazado de la clase del $K$ de la botella de Klein es:

$\{\backslash \; magnetocardiograma\; del\; rm\}\; (K)=\; \{\backslash \; mathbb\; Z\}\; /2\; \{\backslash \}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathbb\; Z\}\; /2\; del\; mathbb\; Z\; \{\backslash \; mathbb\; Z\}.$

Los cuatro elementos son la identidad, una torcedura de Dehn en la curva bilateral que no limita una venda de Mobius, el Y-homeomorfismo Lickorish, y el producto de la torcedura y del y-homeomorfismo. Es un ejercicio agradable para demostrar que el cuadrado de la torcedura de Dehn es isotópico a la identidad.

También comentamos que el género cerrado superficie non-orientable $N\_3$ del tres tiene: $del$

l {\ magnetocardiograma del rm (N_3)} = {\ rm GL} (2, {\ mathbb Z}).

Esto es porque la superficie tiene una curva unilateral única que, cuando corte abierto, rinda un toro una vez que-agujereado. Esto se discute en un papel Martin Scharlemann .

Grupo de Torelli

El grupo de Torelli es los elementos del magnetocardiograma que actúan trivial en la homología (co).

Formalmente, el grupo de trazado de la clase actúa en la homología (co) del espacio, $H^*(X)$ (puesto que el cohomology es actos functorial y de Homeo₀ trivial). El núcleo de esta acción es el grupo de Torelli.

En el caso de orientable superficie, esto es acción en primer cohomology $H^1\; (\backslash )\; \backslash \; ^\; del\; cong\; de\; la\; sigma\; \backslash \; del\; mathbf\; \{Z\}\; \{2g\}$. Orientación-preservando mapa son exacto ése que actúan trivial en superior cohomology $H^2\; (\backslash )\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}$ de la sigma. $H^1\; (\backslash \; sigma)$ tiene una estructura simpléctica, viniendo del producto de taza ; puesto que estos mapas son automorfismo, y los mapas preservan el producto de taza, el grupo de trazado de la clase actúa como automorfismos simplécticos, y todos los automorfismos simplécticos se observan de hecho, rindiendo al cortocircuito la secuencia exacta :

$1\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{Tor\}\; (\backslash \; sigma)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{magnetocardiograma\}\; (\backslash )\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{SP\}\; (H^1\; de\; la\; sigma\; (\backslash \; sigma))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mbox\; \{SP\}\; \_\; \{2g\}\; (\backslash )\; \backslash \; del\; mathbf\; \{Z\}\; a\; 1$ Uno puede extender esto a

$1\; \backslash \; a\; \backslash \; mbox\; \{Tor\}\; (\backslash \; sigma)\; \backslash \; a\; \backslash \; mbox\; \{magnetocardiograma\}\; ^*\; (\backslash )\; \backslash \; a\; \backslash \; ^\; del\; mbox\; \{SP\}\; de\; la\; sigma\; \{\backslash \; P.\}\; (H^1\; (\backslash \; sigma))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mbox\; \{SP\}\; ^\; \{\backslash \; P.\}\; \_\; \{2g\}\; (\backslash )\; \backslash \; del\; mathbf\; \{Z\}\; a\; 1$

Como bien-entienden al grupo simpléctico, la comprensión de la estructura del grupo de trazado de la clase consiste en en gran parte el estudiar del grupo de Torelli (los otros datos son la extensión).

Ver también

La trenza agrupa los grupos de trazado de la clase de discos pinchados
El Homotopy agrupa * grupos de Homeotopy

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Zenithic

Spandrel

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