Un triángulo es una de las formas básicas de la geometría : un polígono con tres esquinas o cimas y tres lados o bordes que son línea recta segmentos

En el euclidiano cualquier tres puntos colineales non- de la geometría determinan un triángulo y un plano único, es decir espacio cartesiano de dos dimensiones.

¡Tipos de triángulos teorema pitagórico -->

Los triángulos se pueden clasificar según las longitudes relativas de sus lados:
En un triángulo equilateral del, todos los lados están de longitud igual. Un triángulo equilateral es también un polígono equiángulo del, es decir todos sus ángulos internos son equal— a saber, 60°; es un polígono regular
En un triángulo isósceles, dos lados están de longitud igual. Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos iguales (a saber, los ángulos enfrente de los lados iguales). Un triángulo equilateral es un triángulo isósceles, pero no todos los triángulos isósceles son triángulos equilaterales.
En un triángulo escaleno, todos los lados tienen diversas longitudes. Los ángulos internos en un triángulo escaleno son todos diferentes.

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Los triángulos se pueden también clasificar según sus ángulos internos, descritos más abajo usar los grados de arco:
Un triángulo correcto del (o el triángulo en ángulo recto, antes llamado un triángulo rectangled ) tiene un ángulo interno del 90° (un de ángulo recto). El lado frente al de ángulo recto es la hipotenusa ; es el lado más largo del triángulo correcto. Los otros dos lados son las piernas del o el catheti (singular del : cathetus del ) del triángulo.
Un triángulo obtuso tiene un ángulo interno más en gran parte el de 90° (un ángulo obtuso ).
Un triángulo agudo tiene ángulos internos que sean todos más pequeño el de 90° (tres ángulos agudos . Un triángulo equilateral es un triángulo agudo, pero no todos los triángulos agudos son triángulos equilaterales.
Un triángulo oblicuo tiene solamente ángulos que sean más pequeños o más en gran parte el de 90°.

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Hechos básicos

Los hechos elementales sobre triángulos fueron presentados por el Euclid en libros 1-4 de sus elementos alrededor 300 BCE . Un triángulo es un polígono y 2 - el a una cara (véase el Polytope ). Todos los triángulos son dos el dimensional

Los ángulos de un triángulo agregan para arriba a 180 grados. Un ángulo exterior de un triángulo (un ángulo que sea adyacente y suplementario a un ángulo interno) es siempre igual a los dos ángulos de un triángulo que no es adyacente/suplementario a. Como todos los polígonos convexos, los ángulos exteriores de un triángulo agregan para arriba a 360 grados.

La razón tiene el " conocido; triangle" es porque su una palabra compuesta con palabras sobre el triángulo. Significados: Triángulo: La Tri- palabra para el número 3, como 1 está uni, 2 es BI y etceteria. Ángulo: Cada uno sabe probablemente esta palabra, él significa una línea diagonal de cualquier ángulo.

La suma de las longitudes de cualquier dos lados de un triángulo excede siempre la longitud del tercer lado. Ésa es la desigualdad del triángulo. (En el caso especial de la igualdad, dos de los ángulos se han derrumbado para clasificar cero, y el triángulo ha degenerado a una línea segmento.)

Dos triángulos reputan el similar del si y solamente si los ángulos de uno son iguales a los ángulos correspondientes del otro. En este caso, las longitudes de sus lados correspondientes son el proporcional. Esto ocurre por ejemplo cuando dos triángulos comparten un ángulo y los lados frente a ese ángulo son paralelos.

Algunos postulados y teoremas básicos sobre triángulos similares:
Dos triángulos son similares si por lo menos dos ángulos correspondientes son iguales.
Si dos lados correspondientes de dos triángulos están en la proporción, y sus ángulos incluidos son igual, los triángulos son similares.
Si tres lados de dos triángulos están en la proporción, los triángulos son similares.

Para que dos triángulos sean congruentes, cada uno de sus ángulos correspondientes y los lados deben ser igual (6 totales). Algunos postulados y teoremas básicos sobre triángulos congruentes:
Postulado del SAS: Si dos lados y los ángulos incluidos de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
Postulado de SSS: Si cada lado de dos triángulos es correspondientemente igual, los triángulos son congruentes.
Postulado del ASA: Si dos ángulos y los lados incluidos de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
Teorema del AAS: Si dos ángulos y cualquier lado de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
Teorema de la Hipotenusa-Pierna: Si las hipotenusas y una pierna de dos triángulos correctos son correspondientemente iguales, los triángulos son congruentes.

Usar triángulos correctos y el concepto de semejanza, el seno y el coseno de las funciones trigonométricas pueden ser definidos. Éstas son las funciones de un ángulo que se investigan en trigonometría .

En geometría euclidiana, la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. Esto permite la determinación del tercer ángulo de cualquier triángulo tan pronto como se sepan dos ángulos.

Un teorema central es el teorema pitagórico, que indica en cualquier triángulo correcto, el cuadrado de la longitud de los iguales de la hipotenusa la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos otros lados. Si la hipotenusa tiene c de la longitud, y las piernas tienen de las longitudes un y b, entonces el teorema indica eso

l $a^2\; +\; b^2=c^2\; \backslash ,$

El inverso es verdad: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación antedicha, después el triángulo es un triángulo correcto.

Algunos otros hechos sobre triángulos correctos:
Los ángulos agudos de un triángulo correcto son el complementario.
Si las piernas de un triángulo correcto son iguales, después los ángulos enfrente de las piernas son iguales, agudos y complementarios, y son así ambos 45 grados. Por el teorema pitagórico, la longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos veces la longitud de una pierna.
En un triángulo correcto 30-60, en el cual los ángulos agudos miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es dos veces la longitud del lado más corto.
En todos los triángulos correctos, el punto medio en la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa. Para todos los triángulos, los ángulos y los lados son relacionados por la ley de los cosenos y la ley de los senos .

Los puntos, las líneas y los círculos se asociaron a un triángulo

Hay centenares de diversas construcciones que encuentren un punto especial dentro de un triángulo, satisfaciendo una cierta característica única: ver la sección de referencias para un catálogo de ellas. Son construidas a menudo encontrando tres líneas asociadas de una manera simétrica a los tres lados (o a las cimas) y después probando que las tres líneas se encuentran en un monopunto: una herramienta importante para probar la existencia de éstos es el teorema de Ceva, que da un criterio para determinar cuando tres tales líneas son el concurrente. Semejantemente, las líneas asociadas a un triángulo son construidas a menudo probando que tres puntos simétricamente construidos son el colineal: aquí el teorema de Menelaus da un criterio general útil. En esta sección apenas algunas de las construcciones común-encontradas se explican.

Un bisectriz perpendicular de un triángulo es una línea recta que pasa con el punto mediano de un lado y que es perpendicular a él, es decir formando un de ángulo recto con él. Los tres bisectors perpendiculares se encuentran en un monopunto, el Circumcenter del triángulo; este punto es el centro Circumcircle, el círculo que pasa con las tres cimas. El diámetro de este círculo se puede encontrar de la ley de los senos indicados arriba.

El teorema de Thales implica que si el circumcenter está situado en un lado del triángulo, después el ángulo opuesto es derecho. Más es verdad: si el circumcenter está situado dentro del triángulo, después el triángulo es agudo; si el circumcenter está situado fuera del triángulo, después el triángulo es obtuso.

Una altitud de un triángulo es una línea recta a través de una cima y de un perpendicular (es decir que forman un de ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base del de la altitud, y el punto donde la altitud interseca la base (o su extensión) se llama el pie del de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y la cima. Las tres altitudes se intersecan en un monopunto, llamado el Orthocenter del triángulo. El orthocenter miente dentro del triángulo si y solamente si el triángulo es agudo. Las tres cimas junto con el orthocenter se dicen para formar un sistema ortocéntrico .

Un ángulo bisectriz de un triángulo es una línea recta con una cima que corte el ángulo correspondiente por la mitad. Los tres bisectors del ángulo se intersecan en un monopunto, el Incenter, el centro Incircle del triángulo. El incircle es el círculo que las mentiras dentro del triángulo y tocan los tres lados. Hay tres otros círculos importantes, el Excircles mienten fuera del lado del triángulo y del tacto uno así como las extensiones de los otros dos. Los centros del in- y de los excircles forman un sistema ortocéntrico . clear=left> del
Un mediano de un triángulo es una línea recta con una cima y el punto mediano del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Los tres puntos medios se intersecan en un monopunto, el del centro de figura del triángulo. Éste es también centro de gravedad del triángulo : si el triángulo fue hecho fuera de la madera, por ejemplo, usted podría balancearla en su centro de figura, o en cualquier línea a través del centro de figura. El centro de figura corta cada punto medio en el 2:1 del cociente, es decir la distancia entre una cima y el centro de figura es dos veces más grande que la distancia entre el centro de figura y el punto mediano del lado opuesto.

Los puntos medianos de los tres lados y de los pies de las tres altitudes todos mienten en un solo círculo, el círculo del Nueve-punto del triángulo. Que siguen habiendo los tres puntos para los cuales se nombra son los puntos medianos de la porción de altitud entre las cimas y el Orthocenter . El radio del círculo del nueve-punto es mitad el del circumcircle. Toca el incircle (en el punto de Feuerbach) y tres el Excircles clear=left> del
El centro de figura (amarillo), el orthocenter (azul), el circumcenter (verde) y el barycenter del círculo del nueve-punto (punto rojo) todo mienten en una sola línea, conocida como línea (línea roja) de Euler. El centro del círculo del nueve-punto miente en el punto mediano entre el orthocenter y el circumcenter, y la distancia entre el centro de figura y el circumcenter es mitad eso entre el centro de figura y el orthocenter.

El centro del incircle no está en el general situado en la línea de Euler.

Si uno refleja un punto medio al ángulo bisectriz que pasa con la misma cima, una obtiene un Symmedian . Los tres symmedians se intersecan en un monopunto, el punto de Symmedian del triángulo. clear=all> del

Computación del área de un triángulo

El cálculo del área de un triángulo es un problema elemental encontrado a menudo en muchas diversas situaciones. La fórmula más conocida, y más simple es $S=\; del\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; bh$ donde está área $S$, $b$ es la longitud de la base del triángulo, y $h$ es la altura o la altitud del triángulo. El término “base” denota cualquier lado, y la “altura” denota la longitud de un perpendicular del punto enfrente del lado sobre el lado sí mismo.

Aunque sea simple, esta fórmula sea solamente útil si la altura puede ser encontrada fácilmente. Por ejemplo, el topógrafo de un campo triangular mide la longitud de cada lado, y puede encontrar el área de sus resultados sin tener que construir una “altura”. Los varios métodos se pueden utilizar en la práctica, dependiendo de qué se sabe sobre el triángulo. Lo que sigue es una selección de fórmulas con frecuencia usadas para el área de un triángulo.

Usar vectores

El área de un paralelogramo se puede calcular usar los vectores . Dejar el AB de los vectores y el punto respectivamente A a B de la CA del y A a C. El área del paralelogramo ABDC entonces está |   del AB del ; ×  CA del |, que es la magnitud del producto cruzado AB de los vectores y de la CA del . |   del AB del ; ×  CA del | es igual a |   del h ; ×  CA del |, donde el h representa el h de la altitud como vector.

El área del ABC del triángulo es mitad de esto, o   del S ; =  ½|   del AB del ; ×  CA del |.

El área del ABC del triángulo se puede también expresar en el término de los productos de punto como sigue:

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{(\backslash \; mathbf\; \{AB\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{AB\})\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{CA\}\; de\; la\; CA)\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{CA\}\; del\; AB)\; ^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\; |\backslash \; mathbf\; \{AB\}|^2\; |\backslash \; mathbf\; \{CA\}|^2\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{CA\}\; del\; AB)\; ^2\}\; \backslash .$

Usar la trigonometría

La altitud de un triángulo se puede encontrar con un uso de la trigonometría . Usar el etiquetado como en la imagen a la izquierda, la altitud es   del h ; =  un   de ; sin  γ. Substituir esto en el   del S de la fórmula; =  el BH del ½ que derivó arriba, el área del triángulo se puede expresar como: = \ frac {1} {2} ab \ pecado \ gamma = \ a. \ = \ frac {1} {2} Ca \ pecado \ beta. del pecado del $S\; del$

l del frac {1} {2} \ de la alfa

Además, desde el α = el pecado (π - α del pecado del ) = pecado (β + γ), y semejantemente para los otros dos ángulos: = \ frac {1} {2} = \ frac {1} del ab del $S\; del$

l \ del pecado (\ alpha+ \ beta) {2} a. \ = \ frac {1} {2} Ca \ pecado del pecado (\ beta+ \ gamma) (\ gamma+ \ alfa).

Usar coordenadas

Si la cima A está situada en el origen (0,   0) de un sistema coordinado de cartesiano y los coordenadas de las otras dos cimas es dado por B  =  ( x _B,   y _B) y C  =  ( x _C,   el y _C), entonces el S del área se puede computar como tiempos del ½ el valor absoluto determinante el $S=\; del$

l \ el frac {1} {2} \ se fueron|\ el det \ comienza {\ \ y_B y y_C \ extremo {pmatrix} \ derecho del x_B y del x_C del pmatrix}| = \ frac {1} {2}|y_C del x_B - y_B del x_C|.

Para tres cimas generales, la ecuación está: el $S=\; del$

l \ el frac {1} {2} \ se fueron| \ el det \ comienza {\ \ \ \ 1 y 1 y 1 \ extremo {pmatrix} del y_A del x_A y del x_B y del x_C del pmatrix} y del y_B y del y_C \ derecho| = \ frac {1} {2} \ grande| y_C del x_A - y_B del x_A + y_A del x_B - y_C del x_B + y_B del x_C - y_A del x_C \ grande|.

En tres dimensiones, el área de un triángulo del general {A  =  ( x _A,   y _A,   z _A), B  =  ( x _B,   y _B,   z _B) y C  =  ( x _C,   y _C,   z _C)} es la suma pitagórica de las áreas de las proyecciones respectivas en los tres planos principales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):

$S=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; det\; \backslash \; comienza\; \{\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; del\; y\_A\; del\; x\_A\; y\; del\; x\_B\; y\; del\; x\_C\; del\; pmatrix\}\; y\; del\; y\_B\; y\; del\; y\_C\; \backslash \; derecho)\; ^2\; +\; \backslash \; ido\; (\backslash \; det\; \backslash \; comienza\; \{\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; del\; z\_A\; del\; y\_A\; y\; del\; y\_B\; y\; del\; y\_C\; del\; pmatrix\}\; y\; del\; z\_B\; y\; del\; z\_C\; \backslash \; derecho)\; ^2\; +\; \backslash \; (\backslash \; det\; \backslash \; comienza\; \{\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; del\; x\_A\; del\; z\_A\; y\; del\; z\_B\; y\; del\; z\_C\; del\; pmatrix\}\; y\; del\; x\_B\; y\; del\; x\_C\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\}.$

Usar la fórmula de la garza

La forma del triángulo es determinada por las longitudes de los lados solamente. Por lo tanto el S del área también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de la garza: = \ raíz cuadrada {s (s-a) (s-b) (s-c) del $S\}\; del$

donde   del s ; =    del ½; ( un   de ; +    del b ; +  el c ) es el semiperimeter, o mitad del perímetro del triángulo.

Una manera equivalente de fórmula de la garza de la escritura es

$S\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; (a^2\; b^2+a^2c^2+b^2c^2)\; -\; (a^4+b^4+c^4)\}.$

Triángulos no planares

Un triángulo no planar es un triángulo que no se contiene en plano (plano) de a. Los ejemplos de triángulos no planares en geometrías noneuclidean son los triángulos esféricos en la geometría esférica y los triángulos hiperbólicos en la geometría hiperbólica .

Mientras que todo el asiduo, los triángulos (de dos dimensiones) planares contiene los ángulos que agregan para arriba a 180°, hay los casos en los cuales los ángulos de un triángulo pueden ser mayores que o menos que 180°. En figuras curvadas, un triángulo en una figura negativamente curvada (" saddle") hará que sus ángulos agreguen para arriba menos que 180° mientras que un triángulo en una figura positivamente curvada (" sphere") hará que sus ángulos agreguen para arriba más que 180°. Así, si uno fuera dibujar un triángulo gigante en la superficie de la tierra, uno encontraría que la suma de sus ángulos era mayor que 180°.

Ver también

lista los asuntos del triángulo
Número triangular
Triángulos correctos especiales
Punto de Fermat
Desigualdad de Hadwiger-Finsler
Desigualdad de Pedoe
Desigualdad de Ono
Teorema de Lester
Congruencia (geometría)
Ley de los senos
Ley de los cosenos
Ley de las tangentes

.

Zenithic

Triángulo

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