l para otras aplicaciones de la triangulación en matemáticas, considera la triangulación (desambiguación) .

En las matemáticas, la topología generaliza la noción de la triangulación de una manera natural como sigue:

Una triangulación de un espacio topológico $X$ es un complejo K de Simplicial, homeomórfico al X, junto con un h del homeomorfismo : X del $\backslash \; to$ del K .

La triangulación es útil en la determinación de las características de un espacio topológico. Por ejemplo, uno puede computar la homología y los grupos de Cohomology de un espacio triangulado usar teorías simplicial de la homología y del cohomology en vez de teorías más complicadas de la homología y del cohomology.

Para los múltiples topológicos, hay una noción levemente más fuerte de la triangulación: una triangulación por trozos-linear (a veces apenas llamada una triangulación) es una triangulación con la característica adicional que el acoplamiento del simplex es una esfera por trozos-linear. Para los múltiples de la dimensión a lo más 4 esta característica adicional se sostiene automáticamente, pero en &ge del n de la dimensión; 5 (&minus del n ; 3) - la suspensión del doblez de la esfera de Poincaré es un múltiple topológico (homeomórfico al n - esfera) con una triangulación que no sea por trozos-linear: tiene un simplex cuyo acoplamiento sea la suspensión de la esfera de Poincaré, que no es un múltiple (es sin embargo un múltiple de la homología).

Los múltiples diferenciables (mojones de Stewart, el L. Brouwer, Juan Freudenthal ) y los sistemas subanalytic ( Heisuke Hironaka y Roberto Hardt) admiten una triangulación por trozos-linear.

Los múltiples topológicos de las dimensiones 2 y 3 son siempre triangulable por una triangulación única esencialmente (hasta equivalencia por trozos-linear); esto fue probada para las superficies por el Tibor Radó en los años 20 y para los Tres-múltiples por Edwin Moise y derecho Bing en los años 50, con simplificaciones posteriores por el Peter Shalen (,). Como se muestra independiente por el James Munkres, Steve Smale y, cada uno de estos múltiples admite una estructura lisa, única hasta el Diffeomorphism (véase,).

En la dimensión 4, sin embargo, el múltiple E8 no admite una triangulación, y algunos múltiples del acuerdo 4 tienen un número infinito de triangulaciones, inequivalent todo por trozos-linear. En la dimensión mayor de 4, la cuestión de si todos los múltiples topológicos tienen triangulaciones es un problema abierto, aunque se sabe que algo no tiene las triangulaciones por trozos-lineares (véase el Hauptvermutung ).

Métodos explícitos de triangulación

Un caso especial importante de la triangulación topológica es el de superficies de dos dimensiones, o el cerró 2 múltiples . Hay una prueba estándar que las superficies cerradas lisas pueden ser trianguladas (véase Jost 1997). De hecho, si la superficie se da un métrico Riemannian, cada x del punto se contiene dentro de un triángulo geodésico del pequeño convexo que miente dentro de una bola normal con el x del centro. Los interiores finito de muchos de los triángulos cubrirán la superficie; puesto que los bordes de diversos triángulos coinciden o se intersecan transversal, este sistema finito de triángulos se puede utilizar iterativo para construir una triangulación.

Otro procedimiento simple para triangulating los múltiples diferenciables fue dado por el Hassler Whitney en 1957, basado en su que encajaba el teorema . De hecho, si el X es un cerrado n - el Submanifold del R ^m, subdivide un enrejado cúbico en el R ^m en simplexes para dar una triangulación del R ^m. Tomando el acoplamiento del enrejado bastante pequeño y levemente moviendo finito muchas de las cimas, la triangulación estará en la posición general del con respecto al X : así ningunos simplexes de la dimensión < del s = m - n intersecar el X y cada s -