Trigonometría (del " griego del trigōnon ; triangle" + " del metron del ; measure"), informal llamada trig, es una rama de las matemáticas que se ocupan de los triángulos de los triángulos particularmente en un plano donde está 90 grados un ángulo del triángulo (triángulos en ángulo recto . Se ocupa específicamente de las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos; las funciones trigonométricas y cálculos basados sobre ellos. Las penetraciones de la trigonometría impregnan otras ramas de la geometría, tales como el estudio de las esferas usar la trigonometría esférica . La trigonometría tiene usos importantes en muchas ramas de las matemáticas puras así como de las matemáticas aplicadas y, por lo tanto sigue siendo aplicable en ciencias naturales que la trigonometría de se enseña generalmente en las escuelas secundarias a menudo en un curso de Precalculus .

Historia

considera también: Historia las funciones trigonométricas

La trigonometría fue inventada probablemente para el uso en la navegación como método de la navegación usado con astronomía. Los orígenes de la trigonometría se pueden remontar a las civilizaciones Egipto antiguo, Mesopotamia y del valle, hace más de 4000 años de Indus. La práctica común de la medición pesca con caña los grados, minutos y los segundos vienen del sistema babilónico de la base sesenta s de numeración. El Sulba Sutras escrito en la India, entre 800 A., computa correctamente el seno del π /4 (° de 45 ) como 1/√2 en un procedimiento para circundar el cuadrado (el contrario que ajusta el círculo ).

El uso primero registrado de la trigonometría vino helenístico Hipparchus [HTTP //www.edu/ ~cherlin/History/Papers2000/hunt.html] del matemático circa 150 A., que compilaron una tabla trigonométrica usar el seno para solucionar triángulos. El Ptolemy fomenta cálculos trigonométricos desarrollados circa el ANUNCIO 100.

El Sinhalese antiguo en el Sri Lanka, al construir depósitos en el reino de Anuradhapura, trigonometría usada para calcular el gradiente de la corriente. La investigación arqueológica también proporciona la evidencia de la trigonometría usada en otras estructuras hidrológicas únicas que datan de 4 A.

El indio Aryabhata del matemático en 499, dio las tablas de medios acordes que ahora se conocen como tablas del seno, junto con coseno tabula. Él utilizó el zya del para el seno, el kotizya del para el coseno, y el zya del otkram del para el seno inverso, y también introdujo el Versine . Otro matemático indio, Brahmagupta en 628, utilizó una fórmula de la interpolación para computar valores de senos, hasta la segunda pedido Newton - fórmula de interpolación de Stirling .

En el siglo X, el persa Abul Wáfa del matemático y del astrónomo introdujo la función de la tangente y mejoró métodos de calcular las tablas de la trigonometría. Él estableció las identidades de la adición del ángulo, e. pecado ( + el b ), y descubrió la fórmula del seno para la geometría esférica: $\backslash \; frac\; del$

l {\ pecado (A)} {\ = \ frac del pecado (a)} {\ pecado (B)} {\ = \ frac del pecado (b)} {\ pecado (C)} {\ pecado (c)}.

También en los últimos 10mos y tempranos 11mos siglos, el egipcio Ibn Yunus del astrónomo realizó muchos cálculos trigonométricos cuidadosos y demostró la fórmula $\backslash \; lechuga\; romana\; del$

l (a) \ lechuga romana (b) = \ frac {\ lechuga romana (a+b) + \ lechuga romana (a-b)}{2}.

Los matemáticos indios eran los pioneros de la álgebra variable de los cómputos para el uso en cálculos astronómicos junto con la trigonometría. El Lagadha (circa 1350-1200 A.) es el primer pensamiento de la persona para tener geometría y trigonometría usadas para la astronomía, en su Vedanga Jyotisha del .

Trigonometrías persa de Omar Khayyám del matemático 1048-1131) (y teorías combinadas de la aproximación para proporcionar métodos de solucionar ecuaciones algebraicas por medios geométricos. Khayyam solucionó la ecuación cúbica $x^3\; +\; 200\; x\; =\; 20\; x^2\; +\; 2000$ y encontró una raíz positiva de esto cúbica considerando la intersección de una hipérbola rectangular y de un círculo. Una solución numérica aproximada entonces fue encontrada por la interpolación en tablas trigonométricas.

Los métodos detallados para construir una tabla de los senos para cualquier ángulo fueron dados por el indio Bhaskara del matemático en 1150, junto con algunas fórmulas del seno y del coseno. Bhaskara también desarrolló la trigonometría esférica .

El al-Dinar persa Tusi de Nasir del matemático del siglo XIII, junto con Bhaskara, era probablemente el primer para tratar la trigonometría como disciplina matemática distinta. El al-Dinar Tusi de Nasir en su tratado del en el cuadrilátero era el primer para enumerar los seis casos distintos de un triángulo en ángulo recto en trigonometría esférica.

En el siglo XIV, el al-Kashi persa del matemático y el Ulugh del matemático de Timurid piden las tablas producidas de (nieto Timur ) de funciones trigonométricas como parte de sus estudios de la astronomía.

El Bartholemaeus Pitiscus del matemático publicó un trabajo influyente sobre la trigonometría en 1595 que pudieron haber acuñado el " de la palabra; trigonometry".

Descripción

Por definición, un ángulo de un triángulo correcto es 90 grados. Si uno de los otros ángulos se sabe, el tercero puede ser calculado puesto que los tres ángulos de cualquier triángulo deben agregar para arriba a 180 grados. La forma de un triángulo correcto es totalmente resuelta, hasta la semejanza, por los ángulos. Esto significa que una vez que uno de los otros ángulos se sabe, los cocientes de los varios lados son siempre iguales sin importar el tamaño total del triángulo. Estos cocientes son dados por las funciones trigonométricas siguiente del ángulo sabido:

la función del seno (pecado), definida como el cociente del lateral enfrente del ángulo de la hipotenusa. $de\; \backslash \; pecado\; A=\; \backslash \; l\; frac\; \{\backslash \; textrm\; \{enfrente\; de\}\}\; \{\backslash \; textrm\; \{hipotenusa\}\}$ La función del coseno (lechuga romana), definida como el cociente de la pierna adyacente a la hipotenusa. $de\; \backslash \; lechuga\; romana\; A=\; \backslash \; l\; frac\; \{\backslash \; textrm\; \{adyacente\}\}\; \{\backslash \; textrm\; \{hipotenusa\}\}$ La función de la tangente (tan), definida como el cociente de la pierna opuesta a la pierna adyacente. $de\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; A\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; A\}$ de A= tan \ del frac {\ textrm {enfrente de}} {\ textrm {adyacente}}

La pierna adyacente es el lado que está adyacente al ángulo pero no a la hipotenusa. La hipotenusa es el lado frente al ángulo de 90 grados en un triángulo correcto; es el lado más largo del triángulo. El perpendicular de los términos y el bajo se utilizan a veces para los lados opuestos y adyacentes respectivamente.

Los reciprocals de estas funciones se nombran la cosecante (csc o cosecante), el secante (sec) y la cotangente (choza) del, respectivamente. Las funciones inversas se llaman el arco de seno, el arccosine, y el arctangent, respectivamente. Hay relaciones aritméticas entre estas funciones, que se conocen como identidades trigonométricas .

Con estas funciones una puede contestar a virtualmente todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios usando la ley de los senos y la ley de los cosenos . Estas leyes se pueden utilizar para computar los ángulos y los lados restantes de cualquier triángulo tan pronto como conozcan dos lados y un ángulo o dos ángulos y a un lado o a tres lados. Estas leyes son útiles en todas las ramas de la geometría, puesto que cada polígono se puede describir como combinación finita de triángulos.

Ampliar las definiciones

Las definiciones antedichas se aplican a los ángulos entre 0 y 90 grados (0 y los radianes π/2 solamente. Usar el círculo de unidad, uno puede extenderlas a todas las discusiones positivas y negativas (véase la función trigonométrica ). Las funciones trigonométricas son el periódico, con un período de 360 grados o radianes 2π. Eso significa su repetición de los valores en esos intervalos.

Las funciones trigonométricas se pueden definir de otras maneras además de las definiciones geométricas arriba, usar las herramientas del cálculo y de las series infinitas . Con estas definiciones las funciones trigonométricas se pueden definir para los números complejos el de la función compleja que cis es particularmente útil ¡= \ lechuga romana x del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {cis} (x) + i \ pecado x \! = e^ {IX}

Ver las fórmulas de de Euler y de de De Moivre.

Mnemónicas

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Los estudiantes hacen uso a menudo de las mnemónicas para recordar las relaciones y los hechos en trigonometría. Por ejemplo, el seno del, el coseno del y los cocientes de la tangente del en triángulos correctos pueden ser recordados representando los tres cocientes inmediatamente como cadena de letras; SOH  CAH  TOA (seno-opuesto-hipotenusa::: coseno-adyacente-hipotenusa::: tangente-opuesto-adyacente), que se puede pronunciar como sola palabra. Además, muchos recuerdan secuencias similares de la letra creando las oraciones que consisten en las palabras que comienzan con las letras que se recordarán, para recordarlos en la orden correcta. Por ejemplo, para recordar a Tan = enfrente de/adyacente, el TOA de las letras se debe recordar en orden. Cualquier frase memorable construida de las palabras que comienzan con las letras “T, O, A” servirá, y las oraciones se construyen a menudo para recordar los tres cocientes inmediatamente. Otros tipos de mnemónica describen hechos en una manera simple, memorable, tal como " Más al derecho, menos a la altura izquierda, positiva, depth" negativo; al referir a las funciones trigonométricas de una línea rotatoria.

Regla de cuartos

La regla de cuartos hace fácil recordar la función del seno de ángulos especiales: el

Funciones trigonométricas calculadoras

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las tablas trigonométricas Las funciones trigonométricas estaban entre las aplicaciones más tempranas para las tablas matemáticas que tales tablas fueron incorporadas en los libros de textos de las matemáticas y enseñaron los estudiantes a mirar para arriba valores y cómo al interpolar entre los valores enumerados para conseguir una exactitud más alta. Las reglas de diapositiva tenían escalas especiales para las funciones trigonométricas.

Las calculadoras científicas tienen hoy botones para calcular las funciones trigonométricas principales (pecado, lechuga romana, tan y a veces cis) y sus lo contrario. La mayoría permiten una opción de los métodos de la medida del ángulo, de los grados, de los radianes y, a veces, del graduado . La mayoría de los lenguajes de programación de la computadora proporcionan las bibliotecas de función que incluyen las funciones trigonométricas. El hardware de la unidad de la coma flotante incorporó en los microprocesadores usados en la mayoría de los ordenadores personales ha construido en las instrucciones para calcular funciones trigonométricas.

Usos de la trigonometría

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Hay un número enorme de usos de la trigonometría y funciones trigonométricas. Por ejemplo, la técnica de la triangulación se utiliza en la astronomía para medir la distancia a las estrellas próximas, en la geografía para medir distancias entre las señales, y en los sistemas de navegación basados en los satélites las funciones del seno y de coseno son fundamentales a la teoría de las funciones periódicas tal como los que describan el sonido y el ligero agita.

Campos que hacen uso de la trigonometría o de funciones trigonométricas para incluir la astronomía (especialmente, para localizar las posiciones evidentes de los objetos celestiales, en los cuales la trigonometría esférica es esencial) y por lo tanto la navegación (en los océanos, en aviones, y en espacio), teoría, acústica, la óptica, análisis de mercados financieros, electrónica, teoría de las probabilidades, estadísticas, biología, proyección de imagen médica (exploraciones de CAT y ultrasonido de la música), farmacia, química, teoría de número (y por lo tanto criptología ), sismología, meteorología, oceanografía, muchos de la tierra de las ciencias físicas que examina y la geodesia, arquitectura, fonética, economía, ingeniería eléctrica, ingeniería industrial, genio civil, gráficos de computadora, cartografía, cristalografía y desarrollo del juego.

Fórmulas comunes de

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trigonométrico de la identidad

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la función trigonométrica Ciertas ecuaciones que implican funciones trigonométricas son verdades para todos los ángulos y se conocen como identidades trigonométricas del . muchas relaciones geométricas importantes expresas. Por ejemplo, las identidades pitagóricas son una expresión del teorema pitagórico . Aquí están algunas de las identidades más comunmente usadas, así como las fórmulas más importantes que conectan ángulos y lados de un triángulo arbitrario. Para más identidades ver la identidad trigonométrica .

Identidades trigonométricas

Identidades pitagóricas el $del\; de$

\ comienza {alinear} \ sin^2 A + \ cos^2 A del &= 1 \ \ \ tan^2 A + 1 del &= \ sec^2 A \ \ &= \ csc^2 A \ extremo {alinear} de 1+ \ de cot^2 A

Identidades de la suma y del producto

Suma al producto: el $del\; de$

\ comienza {alinear} \ pecado A \ P. \ pecado B &= 2 \ pecado \ ido (\ frac {A \ P.B} {2} \) derecho \ lechuga romana \ (\ frac {A \ P.B} {2} \ derecho) \ dejado \ \ lechuga romano A + \ lechuga romano B &= 2 \ lechuga romano \ ido (\ frac {A + B} {2} \) derecho \ lechuga romana \ (\ frac {A - B} {2} \ derecho) \ dejado \ \ lechuga romana A - \ lechuga romano B &= -2 \ pecado \ ido (\ frac {A + B} {2} \) derecho \ pecado \ ido (\ frac {A - B} {2} \ derechos) \ extremo {alinear}

Producto a sumar: el $del\; de$

\ comienza {alinear} \ lechuga romana A \, \ &= de lechuga romana B \ frac {1} {2} + B) + \ lechuga romana (A - B) \ \ \ pecado A \, \ pecado B &= - \ frac {1} {2} + B) - \ lechuga romana (A - B) \ \ \ lechuga romana A \, \ &= del pecado B \ frac {1} {2} + B) - \ pecado (A - B) \ \ \ pecado A \, \ &= de lechuga romana B \ frac {1} {2} + B) + \ pecado (A - B) \ extremo {alinear}

Seno, coseno y tangente de una suma el $del\; de$

\ comienza {alinear} \ pecado (A \ &= del P.B) \ pecado A \ lechuga romana B \ P. \ lechuga romana A \ del pecado B \ \ \ lechuga romana (A \ &= del P.B) \ lechuga romana A \ lechuga romana B \ de la P. \ del pecado A \ del pecado B \ \ \ broncear (A \ &= \ frac del P. \ tan A \ B tan} \ extremo {alinear}

identidades del Doble-ángulo

el $del$

l \ comienza {alinear} \ del pecado 2A &= 2 \ pecado A \ de lechuga romana A \ \ del &= \ del frac {2 \ tan A} {1 + \ tan^2 A} \ \ \ de lechuga romana 2A del &= \ cos^2 A - \ sin^2 A \ \ del &= 2 \ cos^2 A -1 \ \ del &= 1-2 \ sin^2 A \ \ del &= {1 - \ tan^2 A \ sobre 1 + \ tan^2 A} \ \ \ - \ tan^2 A del &= tan 2A \ del frac {2 \ tan A} {1} \ \ &= \ frac {2 \ choza A} {\ cot^2 A - 1} \ \ &= \ frac {2} {\ - \ tan A de la choza A} \ extremo {alinear}

identidades del Mitad-ángulo

Observar que el $\backslash \; pm$ está correcto, significa que puede ser cualquiera uno, dependiendo del valor del A/2 . el $del$

l \ comienza {alinear} \ &= \ del P. del pecado \ del frac {A} {2} \ de la raíz cuadrada {\ frac {1 \ lechuga romana A} {2}} \ \ \ lechuga romano \ frac {A} {2} &= \ P. \ raíz cuadrado {\} \ \ \ &= \ P. \ raíz cuadrada del tan del frac {1+ \ lechuga romana A} {2} \ del frac {A} {2} {\ frac {1 \ lechuga romana A} {1+ \ lechuga romana A}} = \ = \ frac {1 \ lechuga romana A} del frac {\ pecado A} {1+ \ lechuga romana A} {\ pecado A} \ extremo {alinear}

Identidades del triángulo

En las identidades siguientes, el A, el B y el C son los ángulos de un triángulo y el un, el b y el c son las longitudes de los lados del triángulo enfrente de los ángulos respectivos.

Ley de senos

La ley del de los senos (también saber como el " rule" del seno;) para los estados arbitrarios de un triángulo: $del$

l \ frac {a} {\ pecado A} = \ = \ frac {c} del frac {b} {\ pecado B} {\ pecado C} = 2R donde está el radio el R Circumcircle del triángulo.

Ley de cosenos

La ley del de los cosenos (también conocidos como la fórmula del coseno, o el " rule" de lechuga romana;) está una extensión del teorema pitagórico a los triángulos arbitrarios:

$c^2=a^2+b^2-2ab\; del\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; lechuga\; romana\; C$

o equivalente:

$\backslash \; lechuga\; romano\; C=\; \backslash \; frac\; \{a^2+b^2-c^2\}\; \{2ab\}\; \backslash ,$

Ley de tangentes

La ley del de las tangentes : = \ frac {\ tan \ ido} {\ tan \ ido} del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {a+b} {a-b}

Ver también

Aplicaciones de la trigonometría
Lista de los asuntos básicos de la trigonometría
Identidad trigonométrica
Trigonometría en los campos de Galois
Lista de los asuntos del triángulo

.

Zenithic

Dave Douglas (drummer)

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