En el campo matemático de la teoría determinada, un ultrafiltro en un X del sistema es una colección de los subconjuntos X que sea un filtro, que no puede ser agrandado (como filtro). Un ultrafiltro se puede considerar como medida finito aditiva. Entonces cada subconjunto del X es cualquier " considerado; casi everything" (tiene la medida 1) o " casi nothing" (tiene medida 0). Si el A es un subconjunto del X, después el A o el X \ A es un elemento del ultrafiltro (aquí el X \ A es el complemento relativo A en el X ; es decir, el sistema de todos los elementos del X que no están en el A ). El concepto se puede generalizar a las álgebra boleanas o aún a las órdenes parciales general y tiene muchos usos en teoría determinada, la teoría modelo, y la topología .

Definición formal

Dado un X del sistema, un ultrafiltro en el X es un U del sistema que consiste en subconjuntos del X tales que El sistema vacío no es un elemento del

del U Si el A y el B son subconjuntos del X, el A es un subconjunto del B, y el A es un elemento del U, después el B es también un elemento del U .

Si el A y el B es elementos del U, después está tan la intersección A y del B .

Si el A es un subconjunto del X, después el A o el $X\; \backslash \; el\; setminus\; A$ es un elemento del U . (Nota: los axiomas 1 y 3 implican que el A y el $X\; \backslash \; el\; setminus\; A$ no pueden ambos ser elementos del U .)

Una caracterización es dada por el teorema siguiente. Un U del filtro en un X del sistema es un ultrafiltro si una de las condiciones siguientes es verdad. No hay F del filtro más fino que el U, $U\; \backslash \; subconjunto\; F$ implica $U=F$.

el $A\; \backslash \; la\; taza\; B\; \backslash \; en\; U$ implica el $A\; \backslash \; en\; U$ o $B\; \backslash \; en\; U$.

$\backslash \; forall\; A\; \backslash \; subconjunto\; X:\; A\; \backslash \; en\; U$ o $X\; \backslash \; el\; setminus\; A\; \backslash \; en\; U$. Otra manera de mirar los ultrafiltros en un X del sistema es definir un m de la función en la energía determinado X fijando el m ( A ) = 1 si el A es un elemento del U y del m ( A ) = 0 de otra manera. Entonces el m es una medida finito aditiva en el X, y cada característica de elementos del X es el verdadero casi por todas partes o falso casi por todas partes. Observar que esto no define una medida en el sentido generalmente, que se requiere ser el añadido del contable.

Para un F que no es un ultrafiltro, uno del filtro diría el m ( A ) = 1 si   del A ; ∈   F y m ( A ) = 0 si   del X \ del A ; ∈   F, saliendo del m indefinido a otra parte.

¡Completeness

Lo completo de un U del ultrafiltro en un sistema es el &kappa cardinal más pequeño; tales que hay κ elementos del U cuya intersección no está en el U . La definición implica que lo completo de cualquier ultrafiltro es por lo menos el $\backslash \; aleph\_0$. Un ultrafiltro cuyo lo completo es el mayor que el $\backslash \; aleph\_0$ - es decir, la intersección de cualquie colección contable de elementos del U todavía está en el U - se llama el el contable completo de o del $\backslash \; sigma$ - completo.

Lo completo de un ultrafiltro nonprincipal contable completo en un sistema es siempre cardenal mensurable .

Generalización a las órdenes parciales

En la teoría de la orden, un ultrafiltro es un subconjunto de un sistema parcialmente pedido (un poset ) que es el máximo entre todos los filtros apropiados formalmente, esto indica que cualquier filtro que contenga correctamente un ultrafiltro tiene que ser igual al poset entero. Un caso especial importante del concepto ocurre si el poset considerado es un la álgebra boleana, como en el caso de un ultrafiltro en un sistema (definido como filtro correspondiente Powerset ). En este caso, los ultrafiltros son caracterizados conteniendo, para cada del elemento un de la álgebra boleana, exactamente uno del de los elementos un y ¬ un (estes 3ultimo que son el complemento boleano de al ).

Los ultrafiltros en una álgebra boleana se pueden identificar con los ideales máximos de los ideales de la prima y los homomorphisms a la álgebra boleana de 2 elementos {verdad, falso}, como sigue:
Los ideales máximos de una álgebra boleana son iguales que ideales primeros.
Dado un homomorfismo de una álgebra boleana sobre {verdad, falso}, la imagen inversa del " true" es un ultrafiltro, y la imagen inversa del " false" es un ideal máximo.
Dado un ideal máximo de una álgebra boleana, su complemento es un ultrafiltro, y hay un homomorfismo único sobre {verdad, falso} llevar el ideal máximo el " false".
Dado un ultrafiltro de una álgebra boleana, su complemento es un ideal máximo, y hay un homomorfismo único sobre {verdad, falso} llevar el ultrafiltro el " true".

Veamos otro teorema que se podría utilizar para la definición del concepto “ultrafiltro”. Dejar el B denotar una Bool-álgebra y un F un filtro apropiado en él. El F es un ultrafiltro iff: para todo el $a,\; b\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbf\; B$, si $a\; \backslash \; uve\; b\; \backslash \; en\; F$, entonces $a\; \backslash \; en\; f$ o $b\; \backslash \; en\; f$ (Para evitar la confusión: firma $0$, el $\backslash \; vee$ se utiliza aquí para denotar operaciones de la álgebra boleana, y los conectadores lógicos son rendidos por circunlocuciones inglesas.) Ver los detalles (y la prueba) adentro.

Tipos y existencia de ultrafiltros

Hay dos tipos muy diversos de ultrafiltro: principal y libre. Un ultrafiltro principal del (o el fijo, o el trivial) es un filtro que contiene un menos elemento . Por lo tanto, los ultrafiltros principales son del del _{del F de la forma} = { x | un x del ≤ de } para de algunos (pero no todos los) elementos un del poset dado. En este caso el un se llama el elemento principal ultrafiltro. Para la caja de filtros en sistemas, los elementos que califican pues los principales son exactamente los sistemas de un elemento. Así, un ultrafiltro principal en un S del sistema consiste en todos los sistemas que contienen un punto particular del S . Un ultrafiltro en un sistema finito es principal. Cualquier ultrafiltro que no sea principal se llama un ultrafiltro libre del (o el no-principal).

Uno puede demostrar que cada filtro (o más generalmente, cualquie subconjunto con la característica de intersección finita ) está contenido en un ultrafiltro (véase el ultrafiltrar el lema ) y que existen los ultrafiltros libres por lo tanto, solamente las pruebas implican el axioma de la opción bajo la forma de lema de Zorn. Los ejemplos por lo tanto explícitos de ultrafiltros libres no pueden ser dados. No obstante, casi todos los ultrafiltros en un sistema infinito están libres. Por el contrario, cada ultrafiltro de un poset finito (o el en un sistema finito) es principal, puesto que cualquier filtro finito tiene un menos elemento.

Usos

Los ultrafiltros en sistemas son útiles en la topología, especialmente en lo referente a los espacios de Hausdorff del acuerdo, y en la teoría modelo en la construcción de los ultraproducts y ultrafiltran . Cada ultrafiltro en un espacio de Hausdorff del acuerdo converge a exactamente un punto. Asimismo, los ultrafiltros en posets son los más importantes si el poset es una álgebra boleana, puesto que en este caso los ultrafiltros coinciden con los ultrafiltros de los filtros de la prima en este juego de la forma un papel fundamental en el teorema de la representación de la piedra para las álgebra boleanas .

El G del sistema de todos los ultrafiltros de un P del poset se puede topologized de una manera natural, de que es de hecho estrechamente vinculado al teorema antedicho de la representación. Para cualquier del elemento un del P, dejó el del _{del D un} = {el U en el G | un en el U }. Esto es la más útil cuando el P es otra vez una álgebra boleana, puesto que en esta situación el sistema de todo el del _{del D un} es una base para una topología compacta de Hausdorff en el G . Especialmente, cuando en vista de los ultrafiltros en un S (es decir el caso del sistema que el P es el powerset del S pedido vía la inclusión del subconjunto), el espacio topológico resultante es el Stone-Č compactification del ech de un espacio discreto de la cardinalidad | S |.

La construcción de Ultraproduct en la teoría modelo utiliza los ultrafiltros para producir las extensiones elementales de estructuras. Por ejemplo, en construir el Hyperreal numera como ultraproduct de los números verdaderos, nosotros primero amplía el dominio del discurso de los números verdaderos a las secuencias de números verdaderos. Este espacio de la secuencia es mirado como sobreconjunto de los reals identificando cada uno verdadera con la secuencia constante correspondiente. Para ampliar las funciones y las relaciones del familiar (e., + y <) de los reals a los hyperreals, la idea natural es definirlos pointwise. Pero esto perdería las características lógicas importantes de los reals; por ejemplo, el pointwise < no es el ordenar total. Tan en lugar de otro definimos las funciones y el " de las relaciones; " del U del modulo del pointwise;, donde está un ultrafiltro el U en el sistema de índice de las secuencias; por el teorema de Łoś, esto preserva todas las características de los reals que se pueden indicar en la lógica de primer orden . Si el U es nonprincipal, después la extensión de tal modo obtenida es no trivial.

En la teoría de grupo geométrica, los ultrafiltros no-principales se utilizan para definir el cono asintótico de un grupo. Estas producciones de la construcción una manera rigurosa de considerar el que mira al grupo del infinito, de que son la geometría del gran escala del grupo.

Prueba ontológica de Gödel de las aplicaciones de la existencia de dios como axioma ese el sistema de todo el " properties" positivo; es un ultrafiltro.

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