Un ultraproduct es una construcción matemática, una generalización del ultrapower (definido abajo), que se utiliza en la álgebra del extracto para construir los nuevos campos dados, y en la teoría modelo, una rama de la lógica matemática . Particularmente, puede ser utilizado en un " puramente semantic" prueba del teorema de la compacticidad de la lógica de primer orden . Un uso bien conocido de ultraproducts es la construcción de los números de Hyperreal tomando el ultraproduct contable infinitamente de muchas copias del campo de los números verdaderos .

El método general para conseguir ultraproducts utiliza un I, un i del sistema de índice del _{del M de la estructura para cada i del elemento del I (toda la misma firma ), y de un U del ultrafiltro en el I . La opción generalmente está para el I a ser infinito y el U para contener todos los subconjuntos de Cofinite I . Si no el ultrafiltro es principal, y el ultraproduct es isomorfo a uno de los factores.}

Operaciones algebraicas en el producto de cartesiano $del$

l \ prod_ {i \ adentro I} M_i

se definen de la manera habitual (por ejemplo, para una función binaria +, ( + el b ) el i del = un i del _de + el i del _{del b ), y una relación de equivalencia es definida por el un b del ~ de si y solamente si el $del$}

l \ se fue \ {i \ adentro I: a_i = b_i \ derecho \} \ en U,

y el ultraproduct es el cociente determinado con respecto a ~. El ultraproduct por lo tanto se denota a veces cerca $del$

l \ prod_ {i \ adentro I} M_i/U.

Uno puede definir un finito aditivo m de la medida en el I del sistema de índice diciendo el m ( A ) = 1 si el U del ∈ del A y = 0 de otra manera. Entonces dos miembros del producto de cartesiano son equivalentes exacto si son el igual casi por todas partes en el sistema de índice. El ultraproduct es el sistema de clases de equivalencia generadas así.

Otras relaciones se pueden ampliar la misma manera: un b del R de si y solamente si $del$

l \ ido \ {i \ adentro I: a_i \, R \, b_i \ derecho \} \ en U.

Está particularmente, si cada i del _{del M es un campo pedido, después tan el ultraproduct.}

Un ultrapower es un ultraproduct para el cual todo el i del _{del M de los factores} es igual:

Teorema de Łoś

El teorema de Łoś, también llamado el el teorema fundamental de los ultraproducts, es debido al Jerzy Łoś (el apellido es pronunciado, aproximadamente, " wash"). Indica que cualquier fórmula de primer orden es verdad en el ultraproduct si y solamente si el sistema del i de los índices tales que la fórmula es verdad en el i del _{del M es un miembro del U . Más exacto:}

Dejar el $U$ ser un ultrafiltro sobre un $I$ del sistema, y para cada $i\; \backslash \; adentro\; I$ dejó el $M\_\; \{i\}$ sea un primer modelo de la orden. Dejar el $M$ ser el ultraproduct del $M\_\; \{i\}$ con respecto a $U$, es decir, = \ prod_ {i \ adentro I} del $M\; M\_i/U.$

Entonces, para cada $a^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a^\; \{\}\; \backslash \; en\; \backslash \; golpecito\; M\_\; \{i\}$ de n, donde a^ del $\{k\}\; =\; (\_\; del\; a^\; \{k\}\; \{i\})\; \_\; \{i\; \backslash \; adentro\; I\}$, y para cada $\backslash \; phi$ de la fórmula

$M\; \backslash \; modelos\; \backslash \; A^1\; de\; la\; phi],\; \backslash \; ldots,\; [a^n$ si y solamente si $\backslash \; \{i\; \backslash \; adentro\; I:\; M\_\; \{i\}\; \backslash \; modelo\; \backslash \; phi\; \backslash \; ldots,\; a^n\_\; \{\}\; \backslash \}\; \backslash \; en\; de\; i\; U$.

El teorema es probado por la inducción en la complejidad del $\backslash \; phi$ de la fórmula. El hecho de que $U$ sea un ultrafiltro (y no apenas un filtro) se utiliza en la cláusula de la negación, y el axioma de la opción es necesario en el paso del cuantificador existencial.

Ejemplos

Los números de Hyperreal son el ultraproduct de una copia de los números verdaderos para cada número natural, con respecto a un ultrafiltro sobre los números naturales que contienen todos los sistemas del cofinite. Su orden es la extensión de la orden de los números verdaderos.

Análogo, uno puede definir los números complejos no estándar tomando el ultraproduct de las copias del campo de los números complejos .

En la teoría de los cardenales grandes una construcción estándar es tomar el ultraproduct del universo fijar-teórico del conjunto con respecto a un cierto cuidadosamente elegido U del ultrafiltro. Las características de esto el U del ultrafiltro tienen una influencia fuerte en las características (de una orden más alta) del ultraproduct; por ejemplo, si el U es σ-completo, después el ultraproduct estar otra vez fundamentado. (Véase a cardenal mensurable para el ejemplo prototípico.