Valor absoluto - Enciclopedia España

En las matemáticas, el valor absoluto (o el módulo ) de un número verdadero es su valor numérico sin consideración alguna hacia su muestra . Así pues, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de ambos 3 y −3. En la programación de computadora, la función matemática usada para realizar este cálculo se da generalmente el ABS conocido del () .

Las generalizaciones del valor absoluto para los números verdaderos ocurren en una gran variedad de ajustes matemáticos. Por ejemplo un valor absoluto también se define para los números complejos que el de Quaternions pedido suena los campos del y los espacios de vector

El valor absoluto es estrechamente vinculado a las nociones de la magnitud, de la distancia, y de la norma en varios contextos matemáticos y físicos.

Números verdaderos

Para cualquier del número verdadero un el valor absoluto o el módulo del un se denota cerca | un &thinsp de ; | y se define como

$|a| = \ comenzar {los casos} a, y \ mbox {si} a \ \ \ - de la GE 0 a, y \ mbox {si} a < 0. \ extremo {casos}$

Como puede ser visto de la definición antedicha, el valor absoluto del un es siempre el positivo o el cero, pero nunca el negativo.

De un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número verdadero es la distancia a lo largo de la línea de número verdadero de ese número a partir de la cero, y el valor absoluto de la diferencia de dos números verdaderos es más generalmente la distancia entre ellos. La noción de una función de distancia abstracta en matemáticas se puede considerar de hecho para ser una generalización del valor absoluto de la diferencia (véase el " Distance" abajo).

El asunto siguiente, da una identidad que se utilice a veces como definición alternativa (y equivalente) del valor absoluto:

ASUNTO 1 : $del |a| = \ raíz cuadrada {a^2}$

El valor absoluto tiene las cuatro características fundamentales siguientes:

ASUNTO 2 :

Números complejos

style=" del

Desde los números complejos que no son pidió, la definición dada arriba para el valor absoluto verdadero no puede ser generalizado directo para un número complejo. Sin embargo la identidad dada en el asunto 1: $del |a| = \ raíz cuadrada {a^2}$ puede ser visto como motivación de la definición siguiente.

Para cualquie número complejo $z del l = x + iy \,$

donde están números el x y el y verdaderos, el valor absoluto o el módulo de $z$ es $denotado|z|, se define$ y como

$|z| = \ raíz cuadrada {x^2 + y^2}.$

Sigue que el valor absoluto de un x del número verdadero es igual a su valor absoluto considerado como número complejo desde entonces:

$|x + i0| = \ raíz cuadrada {x^2} = \ raíz cuadrada {x^2 + 0^2} = |x|.$

Similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números verdaderos, sigue del teorema pitagórico que el valor absoluto de un número complejo es la distancia en el plano complejo de ese número complejo del origen, y más generalmente, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre esos dos números complejos.

El valor absoluto de un complejo comparte todas las características del valor absoluto verdadero dado en los asuntos 2 y 3 arriba. Además, si

$z = x + i y = r (\ lechuga romana \) \, de la phi + de i \ del pecado \ de la phi$

y $del l \ barra {z} = x - iy$

es la conjugación del complejo de $z$ , después fácilmente se ve eso

$|z| = r \,$

$|z|=|\ barra {z}|$

$|z| = \ raíz cuadrada {z \ barra {z}}.$ La 3ultima fórmula es el análogo complejo del asunto 1 mencionado anteriormente en el caso verdadero…

Desde los reals positivos formar un subgrupo de los números complejos bajo multiplicación, nosotros puede pensar en valor absoluto como Endomorphism del grupo multiplicativo de los números complejos.

Funciones valor absoluto

La función valor absoluto verdadera es el continuo por todas partes. Es el diferenciable por todas partes a excepción del x = 0. Es que disminuye monotónico en el del intervalo (- el ∞, 0] y aumentando monotónico en el ∞) del del intervalo . Puesto que un número verdadero y su negativa tienen el mismo valor absoluto, es [[función uniforme], y está por lo tanto no el inversible.

La función valor absoluto compleja es continua por todas partes pero (complejo) el diferenciable en ninguna parte (unidireccional ver esto es demostrar que no obedece las ecuaciones de Cauchy-Riemann).

Las funciones verdaderas y complejas son el idempotente .

Es una función no linear .

Anillos pedidos

La definición del valor absoluto dada para los números verdaderos antedichos se puede ampliar fácilmente a cualquier anillo pedido . Es decir, si

a

es un elemento de un anillo pedido

R

, después del valor absoluto de

a

, denotado por el

|a|

, se define para ser:

$|a| = \ comenzar {los casos} a, y \ mbox {si} a \ \ \ - de la GE 0 a, y \ mbox {si} a < 0, \ extremo {casos}$

donde está $-a$ lo contrario aditivo de $a$ , y $0$ es el elemento de identidad aditivo .

Distancia

El valor absoluto es estrechamente vinculado a la idea de la distancia. Según lo observado arriba, el valor absoluto de un número verdadero o complejo es la distancia de ese número al origen, a lo largo de la línea de número verdadero, para los números verdaderos, o en el plano complejo, para los números complejos, y más generalmente, el valor absoluto de la diferencia de dos verdaderos o los números complejos está la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos $a del l = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)$

y $b del l = (b_1, b_2, \ cdots, b_n)$

en el '' n euclidiana '' - se define el espacio como: $\ raíz cuadrada del {(a_1-b_1) ^2 + (a_2-b_2) ^2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^2}.$

Esto se puede ver para ser una generalización del $|a - b|,$ desde entonces si el $a, b de$ es verdadero, entonces por Proposition 1, $del |a - b| = \ raíz cuadrada {(a - b)^2}$

mientras que si $del l a = a_1 + i a_2 \,$

y $del l b = b_1 + i b_2 \,$

son los números complejos, entonces

Derivados

El derivado de la función valor absoluto verdadera es la función de Signum, el sgn ( x ), se define que como

del l \ sgn (x) = \

del frac {x} Campos

Las características fundamentales del valor absoluto para los números verdaderos dados en el asunto 2 arriba, se pueden utilizar para generalizar la noción del valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue. Una función con valores reales

v

en un campo

F

se llama un valor absoluto (también un módulo del, magnitud del, valor del, o valuación del del ) si satisface los cuatro axiomas siguientes:

Espacios de vector

considera también:

la norma (matemáticas) Las características fundamentales del valor absoluto para los números verdaderos se pueden utilizar otra vez, con una modificación leve, para generalizar la noción a un espacio de vector arbitrario.

Una función con valores reales ||·|| en un espacio de vector $V$ sobre un campo $F$ , se llama un valor absoluto (o más generalmente una norma ) si satisface los axiomas siguientes:

Para todo el $a$ en $F$ , y el $\ el mathbf {v}$ , $\ mathbf {u}$ en $V$ ,

Algoritmos

En el lenguaje de programación C, los abs () , los labs () , los llabs () (en C99), los fabs () , el fabsf () , y las funciones del fabsl () computan el valor absoluto de un operando. La codificación de la versión del número entero de la función es trivial, no haciendo caso del caso del límite donde se entra el número entero negativo más grande:

ABS de la internacional (internacional i) { si (i < 0) vuelta - i; volver i; }

Las versiones flotantes son más difíciles, pues tienen que afirmar con los códigos especiales para el infinito y los No-uno-números

La función para el valor absoluto en FORTRAN, Matlab, y octava del GNU es abs. Maneja el número entero, verdadero así como números complejos.

Usar el de lenguaje de ensamblaje, es posible tomar el valor absoluto de un registro en apenas tres instrucciones (ejemplo demostrado para un registro de 32 bits en una arquitectura X86, el sintaxis de Intel ):

cdq eax del xor, edx eax secundario, edx

cdq extiende el pedacito de muestra de eax en edx. Si eax es no negativo, después edx llega a ser cero, y las 3ultimas dos instrucciones no tienen ninguÌn efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativo, después edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las dos instrucciones siguientes entonces se convierten en una inversión del complemento dos, dando el valor absoluto del valor negativo en eax.

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