Una variable al azar es una abstracción del concepto intuitivo de la ocasión en los dominios teóricos de las matemáticas, formando las fundaciones de la teoría de las probabilidades y de las estadísticas matemáticas .

La teoría y la lengua de variables al azar fueron formalizadas durante los siglos últimos junto a ideas de la probabilidad. La familiaridad completa con todas las características de variables al azar requiere un fondo fuerte en los conceptos más recientemente desarrollados de la teoría de medida, pero las variables al azar se pueden entender intuitivo en los varios niveles de fluidez matemática; La teoría determinada y el cálculo son fundamentales.

Amplio, una variable al azar se define como cantidad a cuyos valores sean al azar y a cuál se asigna una distribución de probabilidad . Más formalmente, una variable al azar es una función mensurable de un espacio de muestra al espacio mensurable de los valores posibles de la variable. La definición formal de variables al azar pone los experimentos que implican resultados con valores reales firmemente dentro del marco medida-teórico y permite que construyamos funciones de distribución de variables al azar con valores reales.

Ejemplos

Una variable al azar se puede utilizar para describir el proceso de rodar un justo muere y los resultados posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La representación más obvia es tomar este sistema como el espacio de muestra, la medida de probabilidad de ser la medida uniforme, y la función para ser la función de identidad .

Para una sacudida de la moneda, un espacio conveniente de resultados posibles está Ω = {H, T} (para las cabezas y las colas). Una variable al azar del ejemplo en este espacio es $X\; del\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; comienza\; \{los\; casos\}\; 3,\; y\; \backslash \; =\; \backslash \; texttt\; \{H\},\; \backslash \; \backslash \; de\; Omega\; -5,\; y\; \backslash \; =\; \backslash \; texttt\; \{T\}\; de\; Omega.\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

Variables al azar con valores reales

Típicamente, el espacio mensurable es el espacio mensurable sobre los números verdaderos. En este caso, dejar el $(\backslash \; Omega,\; \backslash \; mathcal\; \{F\},\; P)$ sea un espacio de probabilidad . Entonces, el $X\; de\; la\; función:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$ es una variable al azar con valores reales si $del\; \backslash \; \{\backslash \; Omega:\; X\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; le\; r\; \backslash \}\; \backslash \; en\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; r\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de F

Funciones de distribución de variables al azar

Asociar una función de distribución acumulativa (CDF) a una variable al azar es una generalización de asignar un valor a una variable. Si el CDF es la función de paso de Heaviside de a (continuo derecho) entonces las tomas variables en el valor en el salto con la probabilidad 1. generalmente el CDF especifica la probabilidad esa las tomas variables en valores particulares.

Si un $X\; de\; la\; variable\; al\; azar:\; \backslash Omega\backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ definido en el $del\; espacio\; de\; probabilidad\; se\; da\; (\backslash \; Omega,\; A,\; P)$, podemos hacer preguntas como " ¿Cómo está probablemente que el valor de $X$ es más grande de 2? ". Éste es igual que la probabilidad del $del\; acontecimiento\; \backslash \; \{s\; \backslash \; en\; \backslash \; Omega:\; X\; >\; 2\; \backslash \}$ que se escribe a menudo como $P\; (X\; >\; 2)$ para el cortocircuito.

La registración de todas estas probabilidades de las gamas de la salida de un con valores reales X de la variable al azar rinde la distribución de probabilidad del X . El " de la distribución de probabilidad; forgets" sobre el espacio de probabilidad del detalle usado para definir el X y solamente expedientes las probabilidades de varios valores del X . Tal distribución de probabilidad se puede capturar siempre por su función de distribución acumulativa $F\_X\; del$

l (x) = \ operatorname {P} (X \ le x)

y a veces también usar una función de densidad de probabilidad . En términos medida-teóricos, utilizamos el X de la variable al azar al " empujar-forward" el P de la medida en Ω a un F de la medida d en el R . El espacio de probabilidad subyacente Ω es un dispositivo técnico usado para garantizar la existencia de variables al azar, y para construirlas a veces. En la práctica, uno dispone a menudo del espacio Ω en conjunto y apenas pone una medida en el R que asigna la medida 1 a la línea verdadera del conjunto, es decir, una trabaja con distribuciones de probabilidad en vez de variables al azar.

Momentos

La distribución de probabilidad de una variable al azar es caracterizada a menudo por una pequeña cantidad de parámetros, que también tienen una interpretación práctica. Por ejemplo, es a menudo bastante saber lo que su " value" medio; es. Esto es capturada por el concepto matemático del valor previsto de una variable al azar, E. denotado E no es generalmente igual al f (e). Una vez el " value" medio; se sabe, uno podría entonces preguntar hasta dónde de este valor medio los valores del X son típicamente, una pregunta que es contestada por la variación y la desviación estándar de una variable al azar.

Matemáticamente, esto se conoce como el problema (generalizado) de los momentos : para una clase dada del X de las variables al azar, encontrar una colección { f_i } de funciones tales que los valores de expectativa E caracterizan completamente la distribución del X de la variable al azar.

Funciones de variables al azar

Si tenemos un X de la variable al azar en Ω y un f de la función mensurable : El R, entonces Y del → del R = el f ( X ) también será una variable al azar en Ω, puesto que la composición de funciones mensurables es también mensurable. El mismo procedimiento que permitió que uno fuera de un espacio de probabilidad (Ω, P) a (el R, el X del dF_{) se puede utilizar para obtener la distribución del Y . La función de distribución acumulativa del Y es $F\_Y\; del$}

l (y) = \ operatorname {P} (f (X) \ le y).

Ejemplo 1

Dejar el X ser una variable al azar continua con valores reales, y dejar el Y = el X ². Entonces, $F\_Y\; del$

l (y) = \ operatorname {P} (X^2 \ le y).

Si y < 0, entonces P ( y ) = 0 del ≤ del X ², tan

Si ≥ 0 del y, entonces $del$

l \ operatorname {P} (= \ operatorname {P} de X^2 \ de le y) (|X| \ le \ raíz cuadrada {y}) = \ operatorname {P} (- \ raíz cuadrado {} \ le X \ le \ raíz cuadrada {y} de y),

tan

$F\_Y\; (y)\; =\; F\_X\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{y\})\; -\; F\_X\; (-\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{y\})\; \backslash \; qquad\; \backslash \; hbox\; \{si\}\; \backslash \; patio\; y\; \backslash \; GE\; 0.$

Ejemplo 2

Suponer que el $\backslash \; el\; scriptstyle\; X$ es una variable al azar con una distribución acumulativa $del$

l F_ {X} (x) = ^ de P (= \ frac {1} de X \ del leq x) {(1 + e^ {- x}) {\ theta}}

donde está un parámetro el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; la\; theta\; >\; 0$ fijo. Considerar el $de\; la\; variable\; al\; azar\; \backslash \; =\; \backslash \; mathrm\; \{registro\}\; (1\; del\; scriptstyle\; Y\; +\; e^\; \{-\; X\}).$ entonces,

$F\_\; \{Y\}\; (y)\; =\; P\; (Y\; \backslash \; leq\; y)\; =\; P\; (\backslash \; mathrm\; \{registro\}\; (1\; +)\; \backslash \; leq\; y)\; =\; P\; del\; e^\; \{-\; X\}\; (X\; >\; -\; \backslash \; mathrm\; \{registro\}\; (e^\; \{y\}\; -\; 1)).\; \backslash ,$

La expresión pasada se puede calcular en términos de distribución acumulativa del $X,$ tan

$F\_\; \{Y\}\; (y)\; =\; 1\; -\; F\_\; \{X\}\; (-\; \backslash \; mathrm\; \{registro\}\; (e^\; \{y\}\; -\; 1))\; \backslash ,$ del\; del$$
de = 1 - \ frac {1} {(1 + e^ {\ mathrm {registro} (e^ {y} - 1)}) $^\; \{\backslash \; theta\}\}$ = 1 - \ frac {1} {(1 + e^ {y} - 1)^ {\ theta}} $del$
de = 1 - e^ {- y \ theta}. \,

Equivalencia de variables al azar

Hay varios diversos sentidos en los cuales las variables al azar se pueden considerar para ser equivalentes. Dos variables al azar pueden ser igual, igual casi seguramente, igual en medio, o igual en la distribución.

En la orden cada vez mayor de la fuerza, la definición exacta de estas nociones de la equivalencia se da abajo.

Igualdad en la distribución

El X de dos variables al azar y el Y son igual en la distribución si tienen las mismas funciones de distribución:

$\backslash \; operatorname\; \{P\}\; (X\; \backslash \; le\; x)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{P\}\; (Y\; \backslash \; le\; x)\; \backslash patio\backslash \; hbox\; \{para\; todos\}\; \backslash \; patio\; x.$

Dos variables al azar que tienen funciones de generación iguales del momento tienen la misma distribución. Esto proporciona, por ejemplo, un método útil de comprobar la igualdad de ciertas funciones de de los iidrv.

Para ser iguales en la distribución, las variables al azar no necesitan ser definidas en el mismo espacio de probabilidad. La noción de la equivalencia en la distribución se asocia a la noción siguiente de la distancia entre las distribuciones de probabilidad, $d\; del$

l (X, Y)= \ sup_x|\ operatorname {P} (X \ - \ operatorname {P} (Y \ le x) de le x)|,

cuál es la base de la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

Igualdad en medio

El X de dos variables al azar y el Y son igual en el medio del p-th si el momento del th del p de | &minus del X ; Y | es cero, es decir, $del$

l \ operatorname {E} (|X-Y|^p) = 0.

La igualdad en medio del th del p implica igualdad en el medio del th del q para todo el q < el p . Como en el caso anterior, hay una distancia relacionada entre las variables al azar, a saber $d\_p\; del$

l (X, Y) = \ operatorname {E} (|X-Y|^p).

Igualdad casi segura

El X de dos variables al azar y el Y son el igual casi seguramente del si, y solamente si, la probabilidad que son diferentes es cero: $del$

l \ operatorname {P} (X \ neq Y) = 0.

Para todos los propósitos prácticos en la teoría de las probabilidades, esta noción de la equivalencia es tan fuerte como igualdad real. Se asocia a la distancia siguiente: $d\_\; del$

l \ infty (X, Y)= \ sup_ \ Omega|X (\ Omega) - Y (\ Omega)|,

donde el “sorbo” en este caso representa el supremum esencial en el sentido de la teoría de medida .

Igualdad

Finalmente, el X de dos variables al azar y el Y son el igual si son iguales como las funciones en su espacio de probabilidad, es decir,

$X\; (\backslash \; Omega)\; =Y\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; hbox\; \{para\; todos\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; omega$

Convergencia

Mucha de estadísticas matemáticas consiste en probar los resultados de la convergencia para ciertas secuencias de variables al azar; ver por ejemplo la ley de los grandes números y del teorema de límite central .

Hay los varios sentidos en los cuales una secuencia ( n del _{del X ) de variables al azar puede converger a un X de la variable al azar. Éstos se explican en el artículo sobre la convergencia de las variables al azar .}

Literatura

Kallenberg, O., medidas al azar, 4ta edición del . Prensa académica, Nueva York, Londres; Akademie-Verlag, Berlín (1986). MR0854102 ISBN 0123949602
Probabilidad del 1965 de Papoulis, de Athanasios, variables al azar, y procesos estocásticos . McGraw-Colina Kogakusha, Tokio, 9na edición, ISBN 0-07-119981-0.

Ver también

style=" del
Distribución de probabilidad
Acontecimiento (teoría de las probabilidades)
Aleatoriedad
Elemento al azar
Vector al azar
Función al azar
Medida al azar
función de generación
Teoría de información algorítmica
Proceso estocástico