En las matemáticas, particularmente en la geometría algebraica, el análisis complejo y la teoría de número, una variedad abeliana es una variedad algebraica descriptiva que es al mismo tiempo un grupo algebraico, es decir, tiene una ley del grupo que se pueda definir por variedades abelianas regulares de las funciones esté al mismo tiempo entre los objetos estudiados de la geometría algebraica y las herramientas imprescindibles para mucha investigación sobre otros asuntos en teoría algebraica de la geometría y de número.

Una variedad abeliana se puede definir por las ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo ; la variedad entonces se dice para ser definido sobre que coloquen. Las primeras variedades abelianas que se estudiarán eran históricamente ésas definidas sobre el campo de los números complejos . Tales variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que se pueden encajar en un espacio descriptivo complejo. Las variedades abelianas definidas sobre los campos de número algébrico son un caso especial, que es importante también del punto de vista de la teoría de número. Las técnicas de la localización llevan naturalmente de las variedades abelianas definidas sobre los campos de número a unos definidos sobre los campos finitos y los campos locales del vario

Las variedades abelianas aparecen naturalmente como las variedades de Jacobian (los componentes conectados de ponen a cero adentro las variedades de Picard) y variedades de Albanese de otras variedades algebraicas. La ley del grupo de una variedad abeliana es necesario el comutativo y la variedad es el no singular. Una curva elíptica es una variedad abeliana de la dimensión 1. que las variedades abelianas tienen dimensión 0 de Kodaira.

Historia y motivación

En el siglo XIX temprano, la teoría de las funciones elípticas tuvo éxito en el donante de una base para la teoría de los integrales elípticos y esta izquierda abre una avenida obvia de la investigación. ¿Las formas estándar para los integrales elípticos implicaron las raíces cuadradas los polinomios cuárticos cúbicos que cuando ésos fueron substituidos por polinomios de un grado más alto, dicen el quintics, qué de y sucederían?

En el trabajo Niels Abel y Carl Jacobi, la respuesta fue formulada: esto implicaría funciones de las variables complejas dos, teniendo cuatro períodos independientes (es decir vectores del del período). Esto dio la primera ojeada de una variedad abeliana de la dimensión 2 (una superficie abeliana ): qué ahora sería llamada el Jacobian de una curva de Hyperelliptic del género 2 .

Después de Abel y de Jacobi, algunos de los contribuidores más importantes a la teoría de funciones abelianas eran Riemann, Weierstrass, Frobenius, Poincaré y Picard . El tema era muy popular en ese entonces, ya teniendo una literatura grande.

Antes de fin de siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de funciones abelianas. Eventual, en los años 20, el Lefschetz puso la base para el estudio de funciones abelianas en términos de toros complejos. Él también aparece ser el primer para utilizar el " conocido; Variety" abeliano;. Era el Weil en los años 40 que dieron a tema sus fundaciones modernas en la lengua de la geometría algebraica.

Hoy, las variedades abelianas forman una teoría importante de la herramienta en gran número, en los sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de los sistemas hamiltonianos, y en la geometría algebraica (especialmente variedades de Picard y variedades de Albanese).

Teoría analítica

Definición

Un toro complejo del g de la dimensión es un toro verdadero g de la dimensión 2 que lleva la estructura de un múltiple complejo . Puede ser obtenido siempre como el cociente de un g - espacio de vector complejo dimensional por un enrejado g de la fila 2. Una variedad abeliana complejo del g de la dimensión es un toro complejo del g de la dimensión que es también una variedad algebraica descriptivo sobre el campo de números complejos. Puesto que son toros complejos, las variedades abelianas llevan la estructura de un grupo . Un Morphism de variedades abelianas es un morphism de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento de identidad para la estructura del grupo. Un isogeny es a finito--uno a morphism.

Cuando un toro complejo lleva la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesario única. En el n del caso = 1, la noción de la variedad abeliana está igual que que de la curva elíptica, y cada toro complejo da lugar a tal curva; para el n > 1 se ha sabido desde el Riemann que la condición algebraica de la variedad impone restricciones adicionales ante un toro complejo.

Condiciones de Riemann

El criterio siguiente de Riemann decide a independientemente de si un toro complejo dado es una variedad abeliana, es decir a independientemente de si puede ser encajado en un espacio descriptivo. Dejar el X ser un g - toro dimensional dado como X = el V / L donde está un espacio el V de vector complejo del g de la dimensión y el L es un enrejado en el V . Entonces el X es una variedad abeliana si y solamente si existe una forma hermitiana definido positivo en el V cuya pieza imaginaria toma a integral valora en el L × de ; L . Tal forma en el X generalmente se llama la forma (non-degenerate) de Riemann de a. Elegir una base para el V y el L, uno puede hacer esta condición más explícita. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; todos se conocen como las condiciones de Riemann.

El Jacobian de una curva algebraica

Cada algebraico C de la curva del género ≥ 1 de g del de se asocia a un abeliano J de la variedad del g de la dimensión, por medio de un mapa analítico del C en el J . Como toro, el J lleva una estructura comutativa del grupo, y la imagen del C genera el J como grupo. Más exactamente, el J es cubierto por el g del ^{del C : cualquier punto en el J viene de un g - tuple de puntos en el C . El estudio de las formas diferenciadas en el C, que dan lugar a los integrales abelianos del con los cuales la teoría comenzada, se puede derivar de la teoría más simple, traducción-invariante de diferenciales en el J . El abeliano J de la variedad se llama la variedad de Jacobian del del C, para cualquier no singular C de la curva sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría de Birational, su campo de la función es el campo fijo del grupo simétrico en las letras de g del que actúan en el campo de la función del g} del del C .

Funciones abelianas

Una función abeliana es una función meromórfica en una variedad abeliana, que se puede mirar por lo tanto como función periódica de las variables complejas del n, teniendo 2 períodos de la independiente del n ; equivalente, es una función en el campo de la función de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX había mucho interés en los integrales de Hyperelliptic que se pueden expresar en términos de integrales elípticos. Esto baja a preguntar que el J es un producto de curvas elípticas, hasta un isogeny.

Ver también: Integral abeliano .

Definición algebraica

Dos definiciones equivalentes de la variedad abeliana sobre un campo general son comúnmente funcionando:
un grupo algebraico conectado completo de y sobre el k
un grupo algebraico conectado descriptivo de y sobre el k Cuando la base es el campo de números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Sobre todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de la dimensión 1.

En los años 40 tempranos, Weil utilizó la primera definición (sobre un campo bajo arbitrario) pero no podría al principio probar que implicó el segundo. Solamente en 1948 él probó que los grupos algebraicos completos pueden ser encajados en espacio descriptivo. Mientras tanto, para hacer la prueba de la hipótesis de Riemann para el curva sobre los campos finitos que él había anunciado en trabajo 1940, él tuvo que introducir la noción de una variedad del extracto y reescribir las fundaciones de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin embeddings descriptivos (véase también la sección de la historia en el artículo algebraico de la geometría ).

Estructura del grupo de puntos

Por las definiciones, una variedad abeliana es una variedad del grupo. Su grupo de puntos se puede demostrar para ser el comutativo.

Para el C, y por lo tanto por el principio de Lefschetz para cada algebraico cerró el campo característico cero, el grupo de la torsión que de una variedad abeliana del g de la dimensión es el isomorfo ^{2 g (el Q / Z )} . Por lo tanto, su n - la pieza de la torsión es (el Z /el Z del n) ^{2 el isomorfo g} , es decir el producto de 2 copias de g grupo cíclico n de la orden.

Cuando el campo bajo es un campo algebraico cerrado del característico p, el n - la torsión es (el Z /el Z del n) ^{2 el todavía isomorfo g} cuando el n y el p son el coprimero. Cuando el n y el p no son coprimeros, el mismo resultado se puede recuperar proporcionó uno lo interpreta como diciendo que el n - la torsión define un esquema plano finito del grupo del espeso 2g . Si en vez de mirar la estructura completa del esquema en el n - la torsión, una considera solamente la estructura reducida del esquema (es decir: mira solamente los puntos), uno obtiene un nuevo invariante para las variedades en el característico p (el supuesto p - alinear cuando n = p ).

El grupo '' k '' - los puntos racionales para un k del campo de número son el finito generado por el teorema de Mordell-Weil. Por lo tanto, por el teorema de la estructura para los grupos abelianos finito generados es isomorfo a un producto de un r y un grupo comutativo finito del ^{del Z del grupo abeliano libremente para un cierto positivo r del número entero llamado la fila de la variedad abeliana. Los resultados similares celebran para algunas otras clases del k de los campos.}

Productos

El producto de un abeliano A de la variedad del m de la dimensión, y un abeliano B de la variedad del n de la dimensión, sobre el mismo campo, es una variedad abeliana del m de la dimensión + el n . Una variedad abeliana es el simple si no es Isogenous a un producto de variedades abelianas de una dimensión más baja. Cualquier variedad abeliana es isogenous a un producto de variedades abelianas simples.

Polarización y variedad abeliana dual

Variedad abeliana dual

A un abeliano A de la variedad sobre un k, uno del campo asocia un abeliano dual A ^v de la variedad (sobre el mismo campo). Esta asociación es una dualidad en el sentido que hay un isomorfismo natural entre el dual doble A ^vv y el A y que es Contravariant functorial es decir él asocia a todos los morphisms el f : El B del → del A se dobla el f ^v de los morphisms: A ^v del → del B ^v de una manera compatible. El n - torsión de una variedad abeliana y del n - torsión de su dual es el dual el uno al otro cuando el n es coprimero a la característica de la base. En general para todo el n - el n - el grupo de la torsión que los esquemas de variedades abelianas duales son Cartier se dobla de uno a. Esto generaliza el Weil que aparea para las curvas elípticas.

Polarizaciones

Una polarización de una variedad abeliana es un isogeny de una variedad abeliana a su dual. Las variedades abelianas polarizadas tienen finito de los grupos A del automorfismo que la polarización principal es un isomorfismo del entre una variedad abeliana y su dual. Jacobians de curvas se equipa naturalmente de una polarización principal tan pronto como una escoja un punto bajo arbitrario en la curva, y la curva se puede reconstruir de su Jacobian polarizado. No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son Jacobians de curvas; ver el problema de Schottky.

Polarizaciones sobre los números complejos

Sobre los números complejos, un la variedad abeliana polarizada se puede también definir como abeliano A de la variedad junto con una opción de un H de la forma de Riemann. El H ₁ de dos formas de Riemann y el H ₂ se llaman el equivalente si hay el positivo n de los números enteros y el m tales que el Mh ₂ del nH ₁= del . Una opción de una clase de equivalencia de Riemann forma en el A se llama una polarización del A . Un morphism de variedades abelianas polarizadas es un B del → del A del morphism de variedades abelianas tales que la retirada de la forma de Riemann en el B a el A es equivalente a la forma dada en el A .

Esquema abeliano

Uno puede también definir el esquema abeliano de las variedades - teóricamente y el concerniente a una base . Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos tales como p de la MOD de la reducción de variedades abelianas (véase la aritmética de las variedades abelianas ), y las parámetro-familias de variedades abelianas. Un esquema abeliano, a veces llamado una variedad abeliana, sobre un bajo S del esquema del relativo g de la dimensión es un apropiado, esquema liso del grupo sobre el S cuyas fibras geométricas son conectados y del g de la dimensión. Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas.

Ver también

Motivos

Lectura adicional

. Un tratamiento comprensivo de la teoría compleja, con una descripción de la historia el tema. Notas en línea del curso. El primer texto moderno en variedades abelianas.

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