l este artículo está sobre variedades algebraicas. Para el " del término; una variedad algebras", y una explicación de la diferencia entre una variedad de álgebra y una variedad algebraica, considera la variedad (álgebra universal) .
En las matemáticas, un que la variedad algebraica es esencialmente a (finita o infinita) fijó de los puntos donde un polinómico (en uno o más variables) logra, o un sistema de tales polinomios todo logra, un valor de cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales del estudio en la geometría algebraica (y hasta cierto punto, modernos) clásico.
El " de la palabra; variety" se emplea en el sentido de un múltiple matemático, para el cual, en los cognates románticos de las idiomas del " de la palabra; variety" se utilizan.
Históricamente, el teorema fundamental de la álgebra estableció un vínculo entre la álgebra y la geometría diciendo que un polinómico en una variable sobre los números complejos es determinado por el sistema de sus raíces, que es un objeto intrínsecamente geométrico. El edificio en este resultado, Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos polinómicos y los subconjuntos de afinan el espacio . Usar el Nullstellensatz y los resultados relacionados, podemos capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos así como traemos geometría para referir cuestiones de la teoría del anillo.
¡Definitions< formal! -- Esta sección se liga de la topología de Zariski -->
Las variedades algebraicas se pueden clasificar en cuatro clases: el afina las variedades, cuasi-afina las variedades, las variedades descriptivas, y las variedades cuasi-descriptivas . También existe la noción más general de una variedad algebraica del extracto. ¡La información antedicha viene del artículo francés de Wikipedia. -->Afinar las variedades
Dejar el k ser un campo algebraico cerrado y dejar el n del del A ser un ''' afinan '' n '' - espaciar el ''' sobre el k . El f de los polinomios en el k del anillo…, el '' n '' de '' x '' se puede ver como k - funciones valoradas en el n del del A evaluando el f en los puntos en el n del del A . Para cada S del subconjunto del k …, el '' n '' de '' x '', define el cero-lugar geométrico del S para ser el sistema de puntos en el n del del A en el cual las funciones en el S desaparecen: Un V del subconjunto del n del del A se llama un afina el sistema algebraico si el V = el Z ( S ) para un cierto S . Un no vacío afina el algebraico V del sistema se llama el irreducible si no puede ser escrito como la unión de dos subconjuntos algebraicos apropiados. Un irreducible afina el sistema algebraico se llama un afina la variedad . Afinar las variedades puede ser dado una topología natural, llamada la topología de Zariski, declarando todos los sistemas algebraicos para ser cerrado . Dado un V del subconjunto del n Dejar el n Las variedades descriptivas también son equipadas de la topología de Zariski declarando todos los sistemas algebraicos para ser cerrado. Dado un V del subconjunto del n un algebraico V del sistema de la afinación es una variedad si y solamente si el I ( V ) es una prima ideal; equivalente, el V es una variedad si y solamente si su anillo coordinado es un dominio integral . Las definiciones y los hechos básicos antedichos permiten a uno hacer la geometría algebraica clásico. Para poder hacer más — por ejemplo, para ocuparse de variedades sobre los campos que no son el algebraico cerró el &mdash de ; se requieren algunos cambios fundacionales. La noción actual de una variedad es considerablemente más abstracta que la arriba, aunque equivalente en el caso de variedades sobre campos algebraico cerrados. Una variedad algebraica del extracto del es una clase particular del esquema ; la generalización a los esquemas en el lado geométrico permite una extensión de la correspondencia descrita arriba a una clase más ancha de anillos. Un esquema es un espacio anillado localmente tales que cada punto tiene una vecindad, que, como espacio localmente anillado, es isomorfo a un espectro de un anillo . Básicamente, una variedad es un esquema cuya gavilla de la estructura está una gavilla K - álgebra con la característica que el R de los anillos que ocurre arriba son todos los dominios y son todo el finito generado K - las álgebra, es decir, cocientes de las álgebra polinómicas por los ideales de la prima Esta definición trabaja sobre cualquier K del campo. Permite que usted pegue afina variedades (a lo largo de sistemas abiertos del campo común) fuera preocupación si el objeto resultante se puede poner en un cierto espacio descriptivo. Esto también lleva a los problemas del puesto que uno puede introducir objetos algo patológicos, e. una línea de la afinación con cero doblado. Éstos generalmente no se consideran las variedades, y nos libramos de ellos requiriendo los esquemas que son la base de una variedad para ser separados . (Hay en realidad también una tercera condición, a saber, que en la definición sobre una necesita solamente finito muchos afinan remiendos.) Algunos investigadores modernos también quitan la restricción en una variedad que tiene que el dominio integral afina cartas, y al hablar de un medio de la variedad simplemente que la afinación trace tenga trivial Nilradical . Una variedad completa es una variedad tales que cualquier mapa de un subconjunto abierto de una curva no singular en él se puede extender únicamente a la curva entera. Cada variedad descriptiva es completa, pero no el viceversa . Estas variedades se han llamado las “variedades en el sentido documento fundacional FAC de s de Serre”, puesto que Serre del 'sobre el cohomology de la gavilla fue escrito para ellas. Siguen siendo objetos típicos a comenzar a estudiar en geometría algebraica, incluso si objetos más generales también se utilizan en una manera auxiliar. Una forma que eso lleva a las generalizaciones es permitir los sistemas algebraicos reducibles (y coloca el K que no son algebraico cerrados), así que el R de los anillos puede no ser dominios integrales. Esto no es un paso grande técnico. Más seria es permitir el Nilpotents en la gavilla de anillos. Un nilpotent en un campo debe ser 0: éstos si están permitida adentro coordinan los anillos no se ven mientras que el coordina las funciones . Desde el punto de vista categórico, los nilpotents se deben permitir, para tener límites finitos de variedades (conseguir los productos de la fibra. Esto dice geométrico que las fibras de buenos mappings pueden tener estructura “infinitesimal”. En la teoría de los esquemas Grothendieck se reconcilian estos puntos todos: pero el esquema general del está lejos de tener el contenido geométrico inmediato de una variedad del . Hay otras generalizaciones llamadas los apilados y los espacios algebraicos Dejar V1 y V2 ser variedades algebraicas. Decimos que V1 y V2 son el isomorfo, y escribimos el &cong de V1; V2, si hay &phi de los mapas asiduo '; : &rarr de V1; V2 y ψ : &rarr de V2; V1 tales que el &psi de las composiciones ; ° φ y φ ° ψ son los mapas de la identidad en V1 y V2 respectivamente. considera también: algebraico del múltiple Un múltiple algebraico es una variedad algebraica que es también un m - el múltiple dimensional, y por lo tanto cada remiendo local suficientemente pequeño es isomorfo al m .
Variedades descriptivas
Resultados básicos
Cada no vacío afina el sistema algebraico se puede escribir únicamente como unión de variedades algebraicas (donde están subconjuntos ningunos de los sistemas en la descomposición de uno a).
Dejar el k ser el anillo coordinado del V de la variedad. Entonces la dimensión del V es el grado de la trascendencia del campo de las fracciones del k sobre el k . Discusión y generalizaciones
Isomorfismo de variedades algebraicas
Múltiples algebraicos
Ver también
Campo de la función
Dimensión de una variedad algebraica
Punto singular de una variedad algebraica
Geometría de Birational
Variedad abeliana
motivo
esquema Random links: Partido de Democrat (frase) | Whitwell, Derbyshire | La toma (venda) | El forzar orbital | Galletas famosas del n del pollo de Bojangles