En la topología y las áreas relacionadas de las matemáticas, una vecindad (o la vecindad ) es uno de los conceptos básicos en un espacio topológico . Intuitivo hablando, una vecindad de un punto es un determinado que contiene el punto donde usted puede menear el punto un pedacito sin dejar el sistema.
Este concepto es estrechamente vinculado a los conceptos del sistema abierto y interior.
Definición
Si el X es un espacio topológico y el p es un punto en el X, una vecindad del p es un V, que del sistema contiene un abierto U del sistema que contiene el p,
Observar que el V de la vecindad no necesita ser un sistema abierto sí mismo. Si el V está abierto se llama un abre la vecindad . Algunos autores requieren que las vecindades estén abiertas, así que es importante observar a convenciones.
La colección de todas las vecindades de un punto se llama el sistema de la vecindad en el punto.
Si el S es un subconjunto X, una vecindad del S es un V del sistema, que contiene un abierto U del sistema que contiene el S . Sigue que un V del sistema es una vecindad del S, si y solamente si, es una vecindad de todos los puntos en el S .
En un espacio métrico
En un M del espacio métrico = (el X, el d ), un V del sistema es una vecindad de un p si existe una bola abierta con el p del centro y el r del radio, cuál se contiene en el V .El V se llama la vecindad del uniforme del de un S del sistema si existe un r del número positivo tales que para todo el p de los elementos del S, se contiene en el V .
Para el r >0 el r del - la vecindad de un S del sistema es el sistema de todos los puntos en el X que sean en la distancia menos que el r del S (o equivalente, es la unión de todas las bolas abiertas del r del radio que se centran en un punto en el S ).
Sigue directo que un r - vecindad es una vecindad uniforme, y que un sistema es una vecindad uniforme si y solamente si contiene un r - vecindad para un cierto valor del r .
Ejemplos
Dado el sistema del R de los números verdaderos con el generalmente métrico euclidiano y de un V del subconjunto definido como después el V es una vecindad para el N del sistema de los números naturales pero es el no a la vecindad uniforme de este sistema.
Topología de vecindades
La definición antedicha es útil si la noción del sistema abierto se define ya. Hay una manera alternativa de definir una topología, primero definiendo el sistema de la vecindad, y después de abrir sistemas como esos sistemas que contienen una vecindad de cada uno de sus puntos.
Un sistema de la vecindad en el X es la asignación de un N del filtro (x) (en el X del sistema) a cada x en el X, tal que el x del punto es un elemento de cada U en el N (x)
Uno puede demostrar que ambas definiciones es compatible, es decir la topología obtenida del sistema de la vecindad definido usar sistemas abiertos es la original, y viceversa al comenzar de un sistema de la vecindad.
Vecindades uniformes
En un S del espacio del uniforme: = ( X, δ) el V se llama una vecindad del uniforme del del P si el P no es el cercano al X \ el V, que es allí existe ninguna comitiva que contiene el P y el X \ V .
Vecindad pinchada
Una vecindad pinchada de un p del punto (a veces llamado una vecindad suprimida ) es una vecindad del p, menos {el p }. Por ejemplo, el intervalo (− 1, 1) = { y : − 1 < el y < 1} es una vecindad del p = 0 en la línea verdadera, así que el sistema (− 1, 0) ∪ (0, 1) = (− 1, 1) − {0} es una vecindad pinchada de 0. Observar que una vecindad pinchada de un punto dado no es de hecho una vecindad del punto. El concepto de vecindad pinchada ocurre en.
Ver también
vecindad tubular
Vecindad regular
La vecindad absoluta contrae
.
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