Un vector de onda del es una representación del vector de una onda . El vector de onda tiene magnitud el indicar Wavenumber (recíproco de la longitud de onda ), y la dirección del vector indica la dirección de la propagación de onda.

El vector de onda es el más útil para generalizar la ecuación de una sola onda en una descripción de una familia de ondas. Mientras la familia de ondas todo el recorrido en la misma dirección y con la misma longitud de onda, un solo vector de onda sea válida para la familia entera. El caso más común de una familia de ondas que cumpla estos requisitos es la onda plana, en la cual la familia de ondas es también el coherente, es decir todas las ondas tiene la misma fase .

Por ejemplo, una representación común de una sola onda en un monopunto en espacio es: el $\backslash \; PSI\; del\; \backslash \; se\; fue\; (t\; \backslash \; derecho)\; =\; A\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; salió\; (\backslash \; +\; \backslash \; Omega\; t\; del\; varphi\; \backslash \; derecho)\; de$ donde está la amplitud el A, &omega del ; es la frecuencia angular, y &phi del ; es la fase que comienza de la onda (el t de la variable independiente es tiempo).

Para generalizar la ecuación a todos los puntos en el espacio unidimensional de la dirección de la propagación, agregamos en un término compensado de la fase adicional: el $\backslash \; PSI\; del\; \backslash \; se\; fue\; (t,\; z\; \backslash \; derecho)\; =\; A\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; salió\; (\backslash \; +\; \backslash \; Omega\; t\; del\; varphi\; +\; de\; k\; z\; \backslash \; derecho)\; de$ donde está el wavenumber el k ( 2π /λ ) y el nuevo z de la variable independiente es la distancia a lo largo de la onda.

Ahora, mientras estemos tratando de una familia simple de ondas, con la dirección, la longitud de onda, y la fase idénticas (es decir una onda plana), podemos ampliar fácilmente la fórmula substituyendo el k del vector de onda para el k del wavenumber, y la localización en el r del vector de espacio para el variable z : $\backslash \; PSI\; \backslash \; dejado\; del\; (t,\; \{\backslash \; mathbf\; r\}\; \backslash \; derecho)\; =\; A\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; (\backslash \; varphi\; +\; \{\backslash \; mathbf\; k\}\; \backslash \; +\; \backslash \; Omega\; t\; del\; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; r\}\; \backslash \; derecho)$ dejado

Wavevector es también estrechamente vinculado a la longitud de onda por = siguiente \ frac {2 \ pi} del $k\; del\; de\; la\; fórmula\; \{\backslash \; lambda\}$

En relatividad especial

Onda paquete de casi monocromático luz puede estar caracterizado por onda vector


$k^\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash ,\; \backslash \; vec\; \{k\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; del\; frac\; \{\backslash \; Omega\}\; \{c\}$ cuál, cuando está puesto en escrito explícitamente en su covariante y Contravariant forma es


$k^\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\}\; \{c\},\; k^1,\; k^2,\; k^3\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,$ y $k\_\; \backslash \; MU\; del$
= \ a la izquierda (\ frac {\ Omega} {c}, - k_1, - k_2, - k_3 \ derecho). \,

Magnitud de este onda vector es entonces


$k^2\; =\; k^\; \backslash \; MU\; k\_\; \backslash \; MU\; =\; k^0\; k\_0\; -\; k^1\; k\_1\; -\; k^2\; k\_2\; -\; k^3\; k\_3\; \backslash ,$ =\; del\; del$$
del
de \ - \ vec {k} del frac {\ omega^2} {c^2} ^2 = 0. \,

Ese paso pasado donde iguala cero, es un resultado del hecho que, para la luz, = \ frac del $k\; del\; del$
{\ Omega} {c}. \,

Lorentz transforma

Tomando el Lorentz transformar del vector de onda es unidireccional derivar el efecto de Doppler relativista . La matriz de Lorentz se define como $\backslash \; lambda\; del\; del$
= \ comienza {pmatrix} \ gamma&- \ beta \ gamma&0&0 \ \ - \ beta \ \ gamma& \ gamma&0&0 \ 0&0&1&0 \ \ 0&0&0&1 \ extremo {pmatrix} .

En la situación donde la luz está siendo emitida por una fuente rápida y una quisiera saber la frecuencia de la luz detectada en un marco de la tierra (laboratorio), aplicaríamos el lorentz transformamos como sigue. Observar que la fuente está en un S ^s del marco y la tierra está en el marco de observación, S ^obs. Aplicándose lorentz transformación a onda vector


$k^\; \{\backslash \; MU\}\; \_s\; =\; \backslash \; Lambda^\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; NU\; k^\; \backslash \; nu\_\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; mathrm\; \{obs\}$

y eligiendo apenas mirar $\backslash \; MU\; =\; 0$ componente resultado en


$k^\; \{0\}\; \_s\; =\; \backslash \; Lambda^0\_0\; k^0\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{obs\}\}\; +\; \backslash \; Lambda^1\_1\; k^1\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{obs\}\}\; +\; \backslash \; Lambda^2\_2\; k^2\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{obs\}\}\; +\; \backslash \; Lambda^3\_3\; k^3\_\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; mathrm\; \{obs\}$

del
de Fuente que separa

Como ejemplo, aplicar esto a una situación adonde la fuente se está moviendo directo lejos del observador ($\backslash \; theta=\; \backslash \; pi$), esto se convierte: = \ frac del $\backslash \; del\; frac\; del\; del$
{\ omega_ {\ mathrm {obs}}} {\ omega_s} {1} {\ gamma (1 + \ beta)} = \ = \ frac del frac {\ raíz cuadrada {1 \ beta^2}} {1+ \ beta} {\ raíz cuadrada {(1+ \ beta) (1 \ beta)}} {1+ \ beta} = \ frac {\ raíz cuadrada {1 \ beta}}} \, {\ raíz cuadrada {1+ \ beta}

Fuente que se mueve hacia

Para aplicar esto a una situación adonde la fuente se está moviendo derecho hacia el observador ($\backslash \; theta=0$), esto se convierte:


$\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{obs\}\}\}\; \{\backslash \; omega\_s\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+\; \backslash \; beta\}\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1\; \backslash \; beta\}$

.

Zenithic

Galloway Road

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