Un zonohedron es un poliedro convexo donde está un polígono cada cara con la simetría del punto o, equivalente, la simetría bajo rotaciones con 180°. Cualquier zonohedron se puede equivalente describir como la suma de Minkowski de un sistema de la línea segmentos en espacio tridimensional, o como la proyección tridimensional de un Hypercube . Zonohedra fue definido y estudiado original por el E. Fedorov, un crystallographer ruso . Más generalmente, en cualquier dimensión, la suma de Minkowski de línea segmentos forma un Polytope conocido como zonotope .

Zonohedra que embaldosa el espacio

La motivación original para estudiar zonohedra es que el diagrama de Voronoi de cualquier enrejado forma un panal del uniforme del cuerpo en el cual las células sean zonohedra. Cualquier zonohedron formado de esta manera puede espacio de 3 dimensiones teselado y se llama un parallelohedron primario . Cada parallelohedron primario es combinatorio equivalente a uno de cinco tipos: el cubo, prisma hexagonal, octaedro truncado, dodecahedron rombal, y el dodecahedron Rhombo-hexagonal .

Zonohedra de las sumas de Minkowski

Dejado {v₀, v₁,…} ser una colección de los vectores tridimensionales con cada vector v_i que podemos asociar una línea segmento {x_iv_i|0≤x_i≤1}. La suma {&Sigma de Minkowski; x_iv_i|0≤x_i≤1} forma un zonohedron, y todo el zonohedra que contiene el origen tiene esta forma. Los vectores de los cuales se forma el zonohedron se llaman sus generadores . Esta caracterización permite que la definición del zonohedra sea generalizada a dimensiones más altas, dando zonotopes.

Cada borde en un zonohedron es paralelo por lo menos a uno de los generadores, y tiene longitud igual a la suma de las longitudes de los generadores a los cuales es paralela. Por lo tanto, eligiendo un sistema de generadores sin pares paralelos de vectores, y fijando todas las longitudes del vector iguales, podemos formar una versión equilateral de cualquier tipo combinatorio de zonohedron.

Eligiendo sistemas de vectores con altos niveles de simetría, podemos formar de esta manera, zonohedra con por lo menos tanta simetría. Por ejemplo, los generadores equidistantes alrededor del ecuador de una esfera, junto con otros pares de generadores a través de los postes de la esfera, forman zonohedra bajo la forma de prisma sobre 2k-gons regular: el cubo, prisma hexagonal, prisma octagonal, prisma decagonal, prisma dodecagonal, etc. Los generadores paralelos a los bordes de un octaedro forman un octaedro truncado, y los generadores paralelos a las diagonales largas de un cubo forman un dodecahedron rombal .

La suma de Minkowski de cualquier zonohedra dos es otro zonohedron, generado por la unión de los generadores de los dos dados zonohedra. Así, la suma de Minkowski de un cubo y de un octaedro truncado forma el gran rhombicuboctahedron, mientras que la suma de Minkowski del cubo y del dodecahedron rombal forma el dodecahedron rombal truncado . Ambos estos zonohedra son el simple (tres caras se encuentran en cada cima), al igual que el pequeño rhombicuboctahedron truncado formado de la suma de Minkowski del cubo, del octaedro truncado, y del dodecahedron rombal.

Zonohedra de arreglos

El mapa del gauss de cualquier poliedro convexo traza cada cara del polígono a un punto en la esfera de unidad, y traza cada borde del polígono que separa un par de caras a un arco del gran círculo que conecta los dos puntos correspondientes. En el caso de un zonohedron, los bordes que rodean cada cara se pueden agrupar en pares de bordes paralelos, y cuando está traducido vía el mapa del gauss cualquier par se convierte en un par de segmentos contiguos en el mismo gran círculo. Así, los bordes del zonohedron se pueden agrupar en las zonas de los bordes paralelos, que corresponden a los segmentos de un gran círculo común en el mapa del gauss, y el 1 - el esqueleto del zonohedron se puede ver como el gráfico dual planar a un arreglo de grandes círculos en la esfera. Cualquier arreglo de grandes círculos se puede formar inversamente del mapa del gauss de un zonohedron generado por los vectores perpendiculares a los planos a través de los círculos.

Cualquier zonohedron simple corresponde de esta manera a un arreglo simplicial, uno del en el cual cada cara sea un triángulo. Los arreglos de Simplicial de grandes círculos corresponden vía la proyección central a los arreglos simplicial de las líneas en el plano descriptivo, que fueron estudiadas por el Grünbaum (1972). Él enumeró tres familias infinitas de los arreglos simplicial, uno cuyo lleva a las prismas cuando está convertido al zonohedra, y a los otros dos cuyo corresponder a las familias infinitas adicionales de zonohedra simple. Hay también muchos ejemplos sabidos que no caben en estas tres familias.

Tipos de Zonohedra

Hemos visto ya que cualquier prisma sobre un polígono regular con un número par de lados forma un zonohedron. Estas prismas pueden ser formadas de modo que todas las caras sean regulares: dos caras opuestas son iguales al polígono regular de el cual la prisma fue formada, y éstos son conectados por una secuencia de caras cuadradas. Zonohedra de este tipo es el cubo, la prisma hexagonal, la prisma octagonal, la prisma decagonal, la prisma dodecagonal, etc.

Además de esta familia infinita de zonohedra regular-hecho frente, hay tres sólidos de Arquímedes todos los omnitruncations de las formas regulares:
El octaedro truncado, con 6 caras cuadradas y 8 hexagonales. (Tetraedro de Omnitruncated)
El gran rhombicuboctahedron, con 12 cuadrados, 8 hexágonos, y 6 octágonos. (Cubo de Omnitruncated)
El gran rhombicosidodecahedron, con 30 cuadrados, 20 hexágonos y 12 decagons. (Dodecahedron de Omnitruncated)

Además, los sólidos catalanes de cierto (se dobla de los sólidos de Arquímedes) son otra vez zonohedra:
El dodecahedron rombal es el dual Cuboctahedron .
El triacontahedron rombal es el dual Icosidodecahedron .

Otros con todas las caras rombales:
Icosahedron rombal
Rhombohedron
Enneacontahedron rombal

Disección del zonohedra

Aunque no sea generalmente verdad que cualquier poliedro tiene una disección en ningún otro poliedro del mismo volumen (véase problema de Hilbert el tercer), se sabe que cualquier zonohedra dos de volúmenes iguales se puede disecar en uno a.