En la topología, una rama de las matemáticas, un espacio primero-contable es un espacio topológico que satisface el " primer axioma del " del countability ;. Específicamente, un X del espacio reputa primero-contable si cada punto tiene una base contable (base local) de la vecindad . Es decir, para cada x del punto en el X del espacio existe un U ₁, U ₂ de la secuencia ,… de las vecindades abiertas x que existe tal que para cualesquiera abrir la vecindad del x, que llamaremos el V, allí un i del número entero con el i del _{del U contenido en el V de .}

Ejemplos y contraejemplos

La mayoría de espacios “diarios” en las matemáticas es primero-contable. Particularmente, cada espacio métrico es primero-contable. Para ver esto, observar que el sistema de las bolas abiertas se centró en el x con el n del radio 1 para el > del n de los números enteros; 0 formas una base local contable en el x .

Un ejemplo de un espacio que no sea primero-contable es la topología de Cofinite en un sistema no numerable (tal como la línea verdadera ).

Otro contraejemplo es el espacio ordinal ω₁+1 = donde está el número ω₁ ordinal no numerable más pequeño . El elemento ω₁ es un punto de límite del del subconjunto aunque ninguna secuencia de elementos en el [0, ω₁) tiene el elemento ω₁ como su límite. Particularmente, el punto ω₁ en el espacio ω₁+1 = [0, ω₁ no tiene una base local contable. El subespacio ω₁ = es primero-contable sin embargo, puesto que ω₁ es el único tal punto.

Características

Una de las características más importantes de espacios primero-contables es que dado un A del subconjunto, un x del punto miente en el encierro A si y solamente si existe una secuencia { n del _{del x } en el A que el converge al x . Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . Particularmente, si el f es una función en un espacio primero-contable, después el f tiene un L del límite en el x del punto si y solamente si para cada x del → del n} del _{del x de la secuencia, donde el x del ≠ del n} del _{del x para todo el n, nosotros tiene L del → del f ( n} del _{del x ). También, si el f es una función en un espacio primero-contable, después el f es continuo si y solamente si siempre que el x, entonces f ( x ) del → del n} del _{del x del → del f ( n} del _{del x ).}

En espacios primero-contables, la compacticidad secuencial y la compacticidad contable son características equivalentes. Sin embargo, existen los ejemplos secuencialmente de los espacios compactos, primero-contables que no son compactos (éstos son necesario espacios no-métricos). Un tal espacio es el ordinal del espacio que es cada espacio primero-contable [[espacio compacto generado|compacto generado].

Cada subespacio de un espacio primero-contable es primero-contable. Cualquier producto contable de un espacio primero-contable es primero-contable, aunque los productos no numerables no necesiten ser.

Ver también

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