En las matemáticas, las funciones lisas (también llamado las funciones infinitamente diferenciables) y las funciones analíticas son dos tipos muy importantes de las funciones . Uno puede probar fácilmente que cualquier función analítica de una discusión verdadera es lisa. El inverso no es verdad, con este artículo construyendo un contraejemplo .

Definición de la función

Considerar la función

definido para cada x del número verdadero .

La función es lisa

El f de la función tiene derivados continuos de todas las órdenes en todo el x de los puntos de la línea verdadera, dado cerca

$f^\; \{(n)\}\; (x)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{casos\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{p\_n\; (x)\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x^\; \{2n\}\; f\; (x)\; y\; \backslash texto\{si\}\; x>0,\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; texto\; \{si\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$ del le 0

donde está un polinomio el p_n ( x ) del   del n del grado; −   1 dado recurrentemente por el   del p ₁ ( x ); =  1 y p_n del $p\_\; del$

l {n+1} (x)=x^2p_n'(x) - (2nx-1) (x), \ qquad n \ en \ mathbb {N}.

Esquema de la prueba

La prueba, por la inducción, se basa en el hecho que para cualquie m del número natural incluyendo cero,

$\backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{e^\; \{-\; 1/x\}\}\; \{x^m\}\; =\; 0,$

cuál implica que todo el   ^{del f ; ( n )} son continuos y diferenciables en x  =  0, porque

$\backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{f^\; \{(n)\}\; (x)\; -\; f^\; \{(n)\}\; (0)\}\{x-0\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; searrow0\}\; \backslash \; frac\; \{p\_n\; (x)\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x^\; \{2n+1\}\; e^\; \{-\; 1/x\}\; =\; 0.$

Prueba detallada

Al lado de la representación de la serie de energía de la función exponencial, tenemos para cada m del número natural (cero incluyendo) ¡

$\backslash \; frac1\; \{x^m\}\; =x\; \backslash \; Bigl\; (\backslash \; frac1\; \{\}\; \backslash \; Bigr\; de\; x)\; ^\; \{m+1\}\; \backslash \; le\; (m+1)!\; \backslash ,\; ^\; de\; x\; \backslash \; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac1\; \{n!\}\backslash \; ^n$

de Bigl (\ frac1x \ Bigr) ¡(m+1)! \, x \ exp \, \ qquad x>0, de Bigl (\ frac1x \ Bigr)

porque todos los términos positivos para el   del n ; ≠    del m ; +  se agrega 1. Por lo tanto, usar la ecuación funcional de la función exponencial,

$\backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{e^\; \{-\; 1/x\}\}\; \{x^m\}\; ¡\backslash \; le\; (m+1)!\; \backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; searrow0\}\; x=0.$

Ahora probamos la fórmula para el derivado del n ^th del f por la inducción matemática . Usar la regla de cadena, la regla recíproca, y el hecho, que el derivado de la función exponencial es otra vez la función exponencial, vemos que la fórmula está correcta para el primer derivado del f para todo el   del x ; >  0 y ese p ₁ ( x ) es un polinomio del grado 0. Por supuesto, el derivado del f es cero para el   del x ; <  0. Permanece demostrar a eso el derivado del lado derecho del f en el   del x ; =  0 es cero. Usar el límite antedicho, vemos eso

$f\text{'}(0)\; =\; \backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{f\; (x)\; -\; f\; (0)\}\{x-0\}\; =\; \backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{e^\; \{-\; 1/x\}\}\; \{x\}\; =0.$

El paso de la inducción del   del n a del n ; +  1 es similar. Para el   del x ; >  0 que conseguimos para el

donde está un polinomio el n +1 ( x ) del _{del p del   del n del grado; = (n  +  1)  −   1. Por supuesto, (  del n ; +  el derivado 1)^st del f es cero para el   del x ; <  0. Para el derivado del lado derecho del   ^{del f ; ( n )} en el   del x ; =  0 que obtenemos con el límite antedicho}

$\backslash \}\; x\; \backslash \; searrow0\; \backslash \; frac\; del\; lim\_\; \{\{f^\; \{(n)\}\; (x)\; -\; f^\; \{(n)\}\; (0)\}\{x-0\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; searrow0\}\; \backslash \; frac\; \{p\_n\; (x)\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; x^\; \{2n+1\}\; e^\; \{-\; 1/x\}\; =\; 0.$

La función no es analítica

Según lo considerado anterior, el f de la función es liso, y todos sus derivados en el origen son 0. Por lo tanto, la serie de Taylor del f en el origen converge por todas partes a la función cero, $del$

l \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {f^ {(n)} (0)}{n!}^ del x^n= \ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {0} {n!}x^n = 0, \ qquad x \ en \ mathbb {R},

y la serie de Taylor no iguala tan el f ( x ) para el   del x ; >  0. Por lo tanto, el f no es el analítico en el origen. Esta patología no puede ocurrir con funciones diferenciables de una variable compleja algo que de una variable verdadera. De hecho, todas las funciones olomorfas son analíticos, de modo que la falta del f de ser analítica a pesar de su ser infinitamente diferenciable sea una indicación de una de las diferencias más dramáticas entre el análisis verdadero-variable y complejo-variable.

Observar eso aunque el f de la función tenga derivados de todas las órdenes sobre la línea verdadera, la continuación analítica f del   positivo del x del half-line; >  0 al plano complejo, es decir, la función

$\backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; ni\; z\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; exp\; (-\; 1/z)\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{C\},$

tiene una singularidad esencial en el origen, y por lo tanto no es incluso continuo, mucho menos analítico. Por el gran teorema de Picard, logra cada valor complejo (a excepción de cero) infinitamente a menudo en cada vecindad del origen.

Aplicaciones

Para cada   del r del radio; >  0, $del$

l \ ^n \ ni x \ mapsto \ Psi_r (x)=f (r^2- del mathbb {R} \|x \|^2)

con la norma euclidiana || x || define una función lisa en el n - espacio euclidiano dimensional con la ayuda en la bola r del radio.

Uno de los usos más importantes de funciones lisas con la ayuda del acuerdo es la construcción supuesto Mollifiers que sean importantes en teorías de las funciones generalizadas como e. teoría de s de Schwartz Lorenzo 'de las distribuciones

La existencia de funciones lisas pero no-analíticas representa una de las diferencias principales entre la geometría diferenciada y la geometría analítica . En términos de teoría de la gavilla, esta diferencia puede ser indicada como sigue: la gavilla de funciones diferenciables en un múltiple diferenciable es el fino, al contrario del caso analítico.

Las funciones antedichas se utilizan generalmente para acumular particiones de la unidad en los múltiples diferenciables.

Ver también

Función del topetón

.

Zenithic

Anapia District

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