En las matemáticas, el 4 multíple es un múltiple topológico dimensional 4. Un alisa 4 multíples es un múltiple 4 con una estructura lisa . En la dimensión cuatro, en contraste marcado con dimensiones más bajas, los múltiples topológicos y lisos son absolutamente diferentes. Existen unos 4 múltiples topológicos que no admitan ninguna estructura lisa e incluso si existe una estructura lisa no necesita ser único (es decir hay los 4 múltiples lisos que son el homeomórfico pero no Diffeomorphic ).
4 múltiples topológicos
El tipo de Homotopy de un múltiple simplemente conectado del acuerdo 4 depende solamente de la forma de la intersección en la homología dimensional media. Un teorema famoso de implica que el tipo del homeomorfismo del múltiple depende solamente de esta forma de la intersección, y en un Z Z /2 invariante llamó el Kirby-Siebenmann invariante, y por otra parte que cada combinación de forma unimodular y Kirby-Siebenmann invariantes puede presentarse, salvo que si es la forma incluso el Kirby-Siebenmann invariante es el signature/8 (MOD 2). Ejemplos:
En el caso especial cuando la forma es 0, esto implica la conjetura topológica dimensional de Poincare 4.
Si la forma es el E 8, ésta da un múltiple llamado el múltiple, un múltiple E8 no homeomórfico a cualquier complejo simplicial.
Si la forma es el Z, hay dos múltiples dependiendo del Kirby-Siebenmann invariante: uno es el espacio descriptivo complejo dimensional 2, y el otro es un espacio descriptivo falso, con el mismo tipo homotopy pero no homeomórfico (y sin la estructura lisa).
Cuando la fila de la forma es mayor que cerca de 28, el que el número de las formas unimodulares definidas positivas comienza a aumentar extremadamente rápido con la fila, tan allí es granes números de correspondencia los 4 múltiples topológicos simplemente conectados (más cuyo parecer estar de casi ninguÌn interés).
La clasificación del liberto se puede ampliar a algunos casos cuando el grupo fundamental no es demasiado complicado; por ejemplo, cuando es el Z hay una clasificación similar a la que está sobre usar formas hermitianas sobre el anillo de grupo del Z . Si el grupo fundamental es técnicas (por ejemplo, un grupo libre en 2 generadores) entonces del liberto demasiado grande parece fallar y muy poco se sabe sobre tales múltiples.
Que cualquier finito actual grupo es fácil construya el múltiple (liso) del acuerdo 4 de a con él como su grupo fundamental. Pues no hay algoritmo para decir si dos finito actuales grupos son isomorfos (incluso si conocen uno para ser trivial) no hay algoritmo para decir si dos 4 múltiples tienen el mismo grupo fundamental. Ésta es una razón por la que mucho del trabajo sobre 4 múltiples apenas considera el caso simplemente conectado: el caso general de muchos problemas se sabe ya para ser insuperable.
Alisar 4 múltiples
Para los múltiples de la dimensión a lo más 6, cualquier estructura por trozos (PL) linear se puede alisar de una manera esencialmente única, tan particularmente la teoría de 4 múltiples dimensionales del PL que es mucho el igual que la teoría de 4 múltiples lisos dimensionales. Un problema abierto importante en la teoría de 4 múltiples lisos es clasificar el acuerdo simplemente conectado unos. Mientras que se saben los topológicos, éste se rompe para arriba en dos porciones: ¿Qué múltiples topológicos son smoothable? Hay una respuesta casi completa al primer problema cuyo los múltiples simplemente conectados del acuerdo 4 tienen estructuras lisas. Primero, la necesidad invariante de Kirby Siebenmann desaparece.
Si la forma de la intersección es definida el teorema de Donaldson da un completo contesta: hay una estructura lisa si y solamente si la forma es diagonalizable.
Si la forma es indefinida e impar hay un liso estructura.
Si la forma es indefinida e incluso podemos también asumir que está de firma no positiva cambiando orientaciones en caso de necesidad, en este caso es isomorfa a una suma de copias del m de II1,1 y de 2 copias del n de E8 (− 1) para un cierto m y el n . Si n del ≥ 3 del m (de modo que la dimensión sea por lo menos 11/8 mida el tiempo de |firma|) entonces hay una estructura lisa, dada tomando una suma de las superficies K3 del n y de productos del n del m -3 de dos líneas descriptivas. Si > del n del ≤ 2 del m ; 0 (la dimensión es tan a lo más 10/8 de las épocas |firma|) entonces Donaldson y Furuta probaron que existe ninguna estructura lisa. Esto deja un pequeño boquete entre 10/8 y 11/8 donde está sobre todo desconocida la respuesta. (El caso más pequeño no cubierto arriba tiene el n =2 y m =5, pero esto también se ha eliminado, el enrejado más pequeño para el cual la respuesta no se sabe actual es tan el enrejado II7,55 de la fila 62 con el n =3 y el m =7.) el " conjecture" 11/8; los estados que no existen las estructuras lisas si la dimensión es menos de 11/8 miden el tiempo de |firma|.
En cambio, muy poco se sabe (en 2006) sobre la segunda cuestión de clasificar las estructuras lisas en un múltiple smoothable 4; de hecho, no hay un solo múltiple smoothable 4 donde se sabe la respuesta. Donaldson demostró que hay algunos múltiples simplemente conectados del acuerdo 4 con un número infinito contable de diversa estructura lisa. Hay un número no numerable de diversas estructuras lisas en el R 4; ver el ''' exótico 4 del ''' R. Fintushel y la popa demostraron cómo utilizar cirugía para construir una gran cantidad de diversas estructuras lisas (puestas en un índice por polinomios integrales arbitrarios) en muchos diversos múltiples, usar los invariants de Seiberg-Witten para demostrar que las estructuras lisas son diferentes. Sus resultados sugieren que cualquier clasificación de 4 múltiples lisos simplemente conectados sea muy complicada. No hay actual conjeturas plausibles sobre lo que pudo parecer esta clasificación. (Algo temprano conjetura que todos los 4 múltiples lisos simplemente conectados pudieron ser sumas conectadas de superficies algebraicas, o los múltiples simplécticos posiblemente con las orientaciones invertidas, se ha refutado.)
Fenómenos especiales en 4 dimensiones
Hay varios teoremas fundamentales sobre los múltiples que se pueden probar por métodos dimensionales bajos en las dimensiones a lo más 3, y por altos métodos dimensionales totalmente diversos en la dimensión por lo menos 5, pero cuáles ser falso en la dimensión 4. Aquí están algunos ejemplos:
En dimensiones con excepción de 4, el Kirby-Siebenmann invariante proporciona la obstrucción a la existencia de una estructura del PL; es decir un múltiple topológico compacto tiene una estructura del PL si y solamente si su Kirby-Siebenmann invariante en H4 ( M, Z Z /2) desaparece. En la dimensión 3 y bajar, cada múltiple topológico admite una estructura esencialmente única del PL. En la dimensión 4 hay muchos ejemplos con la desaparición de Kirby-Siebenmann invariante pero de ninguna estructura del PL.
en cualquier dimensión con excepción de 4, un múltiple topológico compacto tiene solamente un número finito de PL esencialmente distinto o de estructuras lisas. En la dimensión 4, los múltiples compactos pueden tener un número infinito contable de estructuras lisas non-diffeomorphic.
4 es el único n de la dimensión para el cual el n del del R puede tener una estructura lisa exótica. El R 4 tiene un número no numerable de estructuras lisas exóticas; ver el ''' exótico 4 del ''' R.
la solución a la conjetura lisa de Poincaré se sabe en todas las dimensiones con excepción de 4 (es generalmente falsa en las dimensiones por lo menos 7; ver la esfera exótica ). La conjetura de Poincaré para los múltiples del PL se ha probado para todas las dimensiones con excepción de 4, pero no se sabe si es verdad en 4 dimensiones (es equivalente a la conjetura lisa de Poincaré en 4 dimensiones).
que el teorema liso de H-cobordism lleva a cabo para los cobordisms a condición de que ni el cobordism ni su límite tiene dimensión 4. Puede fallar si el límite del cobordism tiene dimensión 4 (como se muestra por Donaldson). Si el cobordism tiene dimensión 4, después es desconocido si el teorema del h-cobordism se sostiene.
El múltiple topológico del
A de la dimensión no igual a 4 tiene una descomposición handlebody. Los múltiples de la dimensión 4 tienen una descomposición handlebody si y solamente si son smoothable.
allí es los múltiples topológicos dimensionales del acuerdo 4 que no son homeomórficos a ninguÌn complejo simplicial. En la dimensión por lo menos 5 la existencia de los múltiples topológicos no homeomórficos a un complejo simplicial es un problema abierto (en fecha 2007).
Ver también
Cálculo de KirbySuperficie algebraica
3 multíple
5 multíple
Clasificación de Enriques-Kodaira
Manija del Casson
.
| Random links: | Ladin | Colorete del río, Michigan | El tragar de la autógena de Arturo Matthew | Prueba analítica | Escritura para alcanzarle |