En la álgebra linear, una matriz positivo-definida es una matriz hermitiana que es en gran medida análoga a un número verdadero positivo. La noción es estrechamente vinculada a una forma bilinearia simétrico positivo-definido (o a una forma de Sesquilinear en el caso complejo).

Formulaciones equivalentes

Dejar el M ser × del n un ; matriz hermitiana n . Denotar la transposición de un vector $a$ por el $a^\; \{T\}$, y la conjugación transporta por el $a^\; \{*\}$.

El M de la matriz es definido positivo del si y solamente si satisface características equivalentes de siguiente unas de los:

Formas cuadráticos

La condición Echoing 3 arriba, una puede también formular la positivo-determinación en términos de formas de la ecuación cuadrática que dejan el K sean el R del campo o el C, y el V sea un espacio de vector sobre el K . Una forma hermitiana

$B\; :\; V\; \backslash \; épocas\; V\; \backslash \; rightarrow\; K$

está un mapa bilineario tales que el B ( x, y ) es siempre la conjugación compleja del B ( y, x ). Tal B de la función se llama el definido positivo si el B ( x, x ) > 0 para cada diferente a cero x en el V .

matrices Negativo-definidas, semidefinite e indefinidas

Los × del n ; la matriz hermitiana $M$ del n reputa el negativo-definido si ¡$x^\; del$

l {*} M x < 0 \,

para todo el $x\; diferente\; a\; cero\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$ (o, equivalente, todo el $x\; diferente\; a\; cero\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^n$). Se llama el positivo-semidefinite si $x^\; del$

l {*} M x \ geq 0

para todo el $x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$ (o $\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^n$) y negativo-semidefinite si $x^\; del$

l {*} M x \ leq 0

para todo el $x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$ (o $\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^n$).

Equivalente, una matriz es negativo-definida si todos sus valores propios son negativos, él es positivo-semidefinite si son todos mayor o igual cero, y es negativo-semidefinite si son todos inferior o igual cero.

Un M de la matriz es positivo-semidefinite si y solamente si se presenta como la matriz del gramo de un cierto sistema de vectores. En contraste con el caso positivo-definido, estos vectores no necesitan ser linear independiente.

Para cualquier matriz $A$, el A del A ^* de la matriz es semidefinite positivo, y la fila ($A$) = fila ( A del A ^*). Reverso, cualquier matriz semidefinite positiva $M$ se puede escribir como M = el A del A ^*; ésta es la descomposición de Cholesky.

Una matriz hermitiana que es ni positiva ni negativo-semidefinite se llama el indefinido.

Otras características

Si el $M$ es semi-definite positivo, uno a veces escribe a $M\; \backslash \; geq\; 0$ y si el $M$ es positivo-definido uno escribe el $M\; >\; 0$. Esto puede ser confuso, pues las matrices no negativas también se denotan a veces de esta manera. La noción viene del análisis funcional donde las matrices definidas positivas definen a operadores positivos

Para el $M\; semi-definite\; positivo\; de\; las\; matrices,\; N$ escribimos el $M\; \backslash \; geq\; N$ si manganeso del $\backslash \; geq\; 0$, es decir el manganeso del $es\; semi-definite\; positivo.\; Equivalente\; para$ M>N$.$

Matrices No-Hermitianas

Un M de la matriz verdadera puede tener la característica ese MX del del x ^T > 0 para todo el verdadero diferente a cero x de los vectores sin ser simétrico. La matriz el $del$

l \ comienza {bmatrix} 1 y 1 \ \ -1 y 1 \ extremo {bmatrix}

satisface esta característica, porque para todo el $x\; verdadero\; de\; los\; vectores\; =\; (x\_1,\; x\_2)\; ^T$ tales que el $x\; \backslash \; ne\; 0$, el $del$

l \ comienza {bmatrix} x_1 y x_2 \ el extremo {bmatrix} \ comienzan {bmatrix} 1 y 1 \ \ -1 y 1 \ extremo {bmatrix} \ comienza {bmatrix} x_1 \ \ x_2 \ extremo {bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0.

Generalmente nosotros tienen x ^T MX > 0 para todo el verdadero diferente a cero vector x si y solamente si simétrico parte, (el M)/2 de + del M ^T, es definido positivo.

La situación para las matrices complejas puede ser diferente, dependiendo de cómo uno generaliza el MZ del z ^* de la desigualdad > 0. Si el MZ del z ^* que es verdadero para todo el complejo vectors el z, después el M de la matriz es necesario hermitiano. Así pues, si requerimos ese MZ del z ^* sea verdadero y positivo, después el M es automáticamente hermitiano. Por una parte, nosotros tienen que con referencia a ( MZ del z ^*) > 0 para todo el complejo diferente a cero vector z si y solamente si hermitiano parte, (el M)/2 de + del M ^*, es definido positivo.

En resumen, la característica de distinción entre el caso verdadero y complejo es que, un operador positivo limitado en un espacio de Hilbert del complejo es necesario hermitiano, o adjoint del uno mismo. La demanda general se puede discutir usar la identidad de la polarización. Eso es no más verdad en el caso verdadero.

No hay acuerdo en la literatura en la definición apropiada del positivo-definido para las matrices no-Hermitianas.

Ver también

Raíz cuadrada de una matriz
Complemento de Schur
Núcleo definido positivo
función Positivo-definida

.

Zenithic

Kappl

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