En las matemáticas, una secuencia de la bajo-discrepancia del es una secuencia con la característica que para todos los valores del N, su x ₁ del subsequence,…, el N del _{del x tiene una discrepancia baja, según lo definido abajo.}

las secuencias de la Bajo-discrepancia también se llaman el cuasi-al azar o el las secuencias secundario-al azar de, debido a su de uso común como reemplazo de los números al azar uniformemente distribuidos El " quasi" el modificante se utiliza para denotar más claramente que los valores de una secuencia de la bajo-discrepancia son ni al azar ni pseudoaleatorios, pero tales secuencias comparten algunas características de variables al azar y en ciertos usos tales como método de Quasi-Monte Carlos su la discrepancia más baja es una ventaja importante.

En línea general, la discrepancia de una secuencia es baja si el número de puntos en la secuencia que baja en un arbitrario B del sistema está cercano a proporcional a la medida del B, como sucedería en promedio (pero no para las muestras particulares) en el caso de una distribución uniforme. Las definiciones específicas de la discrepancia diferencian con respecto a la opción del B (hyperspheres, hypercubes, etc.) y cómo la discrepancia para cada B se computa (normalizado generalmente) y se combina (generalmente tomando el valor peor).

Por lo menos tres métodos de la integración numérica se pueden expresar como sigue. Dado un x ₁ del sistema,…, el N del _{del x en el intervalo , aproxima el integral de un f de la función como el promedio de la función evaluada en esos puntos:}

$\backslash \; int\_0^1\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; N\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i)\; del\; sum\_\; \{i=1\}.$

Si los puntos se eligen como i del _{del x} = el i / N, ésta es la regla del rectángulo. Si los puntos se eligen para estar aleatoriamente (o Pseudorandomly distribuido, éste es el método de Monte Carlo. Si los puntos se eligen como elementos de una secuencia de la bajo-discrepancia, éste es el método de Quasi-Monte Carlos. Un resultado notable, la desigualdad de Koksma-Hlawka del, demuestra que el error de tal método se puede limitar por el producto de dos términos, uno cuyo depende solamente del f, y otro cuál es la discrepancia del x ₁ del sistema,…, el N del _{del x . La desigualdad de Koksma-Hlawka se indica abajo.}

Es conveniente construir el x ₁ del sistema,…, el N del _{del x de una manera tal que si un sistema con los elementos del N +1 se construye, los elementos anteriores del N no necesiten recomputed. Los puntos de las aplicaciones de la regla del rectángulo fijan que tienen discrepancia baja, pero en general los elementos deben recomputed si se aumenta el N . Los elementos no necesitan recomputed en el método de Monte Carlo si se aumenta el N, pero los sistemas del punto no tienen discrepancia mínima. Usando secuencias de la bajo-discrepancia, el método de Carlos del quasi-Monte tiene las características deseables de los otros dos métodos.}

Definición de la discrepancia

La Estrella-Discrepancia se define como sigue, usar la notación de Niederreiter. $D^*\_N\; del$

l (P) = \ sup_ {B \ en J^*} \ ido| \ frac {A (B; P)} {N} - \ lambda_s (B) \ derecho|

donde está el el P x ₁ del sistema,…, el N del _{del x, λ el s} del _{es el s - medida dimensional de Lebesgue, A ( B ; El P ) es el número de puntos en el P que caigan en el B, y el J ^* es el sistema de los intervalos de la forma $del$}

l \ u_i) de los ^s del prod_ {i=1}

donde está el i del _{del u en el semiabierto 1) del intervalo. Por lo tanto}

$D^*\_N\; (P)\; =\; \backslash |\{\backslash \; del\; rm\; deldisco\}\; \backslash |\_\; \backslash \; infty$

donde la función de la discrepancia se define cerca

$\{\backslash \; disco\; del\; rm\}\; (y)=\; \backslash \; frac\; \{A\; ($

Ejemplos gráficos

Los puntos trazados abajo son los primeros 100, 1000, y 10000 elementos en una secuencia del Sobol mecanografían. Para la comparación, 10000 elementos de una secuencia de puntos pseudoaleatorios también se demuestran.

La secuencia de la bajo-discrepancia fue generada por el algoritmo 659 de TOMS, descrito por P. Bratley y el Fox de B. en transacciones del ACM en el software matemático, vol. Una puesta en práctica del algoritmo en FORTRAN se puede transferir Netlib, URL: http://www.org/toms/659

clear=" del

La desigualdad de Koksma-Hlawka

Dejar Ī el s del ^{sea el s - cubo de unidad dimensional, Ī s del = × 1; … × 1. Dejar el f tener V de la variación limitada (f) en Ī s} del ^{en el sentido y Krause robustos. Entonces para cualquie x ₁,…, N del _{del x en el s del del I = × del 1) ; … × 1) , : $\backslash \; ido|\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i)\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; barra\; I^s\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; le\; V\; (f)\; \backslash ,\; D\_N^*\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_N).$}}

El Koksma - la desigualdad de Hlawka es aguda en el sentido siguiente:

Para cualquie determinado x ₁,…, x _N en el I ^s y cualquiera del punto $\backslash \; epsilon>0$, del

l

hay un f de la función con la variación limitada y el V (f)=1 tales que

$\backslash \; ido|\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i)\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; barra\; I^s\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \; derecho|^\; del\; >D\_\; \{N\}\; \{*\}\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_N)\; -\; \backslash \; épsilon.$

Por lo tanto, la calidad de una regla numérica de la integración depende solamente de la discrepancia D^*_N ( x ₁,…, x _N).

La fórmula de Hlawka-Zaremba

Dejar el $D=\; \backslash \; \{1.2,\; \backslash \; los\; ldots,\; d\; \backslash \}$. Para el $\backslash \; el\; emptyset\; \backslash \; neq\; u\; \backslash \; subseteq\; D$ nosotros escribir el $del\; dx\_u:\; =\; \backslash \; dx\_j\; del\; prod\_\; \{j\; \backslash \; en\; u\}$ y denotar por el $(x\_u,\; 1)$ que el punto obtuvo de $x$ substituyendo coordenadas no en $u$ por $1$. Entonces $del\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i)\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; barra\; I^s\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du=\; \backslash \; 1)$

del ^ del sum_ {\ emptyset \ neq u \ subseteq D} (- La versión de $L^2$ de la desigualdad de Koksma-Hlawka

Aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para los integrales y las sumas a la identidad de Hlawka-Zaremba, obtenemos una versión de $L^2$ de la desigualdad de Koksma-Hlawka:

$\backslash \; ido|\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i)\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; barra\; I^s\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \; derecho|\backslash \; le\; \backslash |f\; \backslash |\_\; \{\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; disco\; de\; d\; del\; rm\}\; \_\; \{d\}\; (\backslash \; \{t\_i\; \backslash \}),$ donde $del\; \{\backslash \; disco\; del\; rm\}\; =\; \backslash \; dejado\; del\; \_\; \{d\}\; (\backslash \; \{t\_i\; \backslash \})\; (\backslash \; sum\_\; \{\backslash \; emptyset\; \backslash \; neq\; u\; \backslash \; subseteq\; D\}\; \backslash \; int\_\; \{$

del ^ El Erdő desigualdad del s-Turan-Koksma

Es de cómputo duro encontrar el valor exacto de la discrepancia de los sistemas grandes del punto. El Erdő s - Turán - desigualdad de Koksma proporciona un límite superior.

Dejar el x ₁,…, el x _N sea puntos en el I ^s y el H sea un número entero positivo arbitrario. Entonces

donde

$r\; (^s\; del\; h)=\; \backslash \; del\; prod\_\; \{i=1\}\; \backslash \; máximo\; \backslash \; \{1,|h\_i|\backslash \}\; \backslash patio\backslash \; mbox\; \{para\}\; \backslash \; patio\; h=\; (h\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; en\; \backslash \; Z^s.$

Las conjeturas de la cañería

La conjetura 1. allí es un constante c _s dependiendo solamente del s, tal que ^ del $D\_\; del$

l {N} {*} (x_1, \ ldots, x_N) \ c_s \ frac {(\ ln N)^ {S1}} {N} del geq

para cualquie determinado x ₁ del punto finito,…, x _N. allí es un ^{'< constante/sup>_s del c dependiendo solamente del s, tal que ^ del $D\_\; del$}

l {N} {*} (x_1, \ ldots, x_N) \ c'_ s \ frac {(\ ln N)^ {s}} {N} del geq

para cualquie x ₁, x ₂, x ₃ de la secuencia infinita,….

Estas conjeturas son equivalentes. Se han probado para el &le del s ; 2 por el W. En dimensiones más altas, el problema correspondiente está todavía abierto. Los límites más bajos más conocidos son debido al K.

Las secuencias más conocidas

Las construcciones de las secuencias se conocen (debido a Faure, a Halton, Hammersley, a Sobol, a Niederreiter y a van der Corput) tales que

$^\; de\; D\_\; \{N\}\; \{*\}\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; frac\; del\; x\_N\; \{(\backslash \; ln\; N)^\; \{s\}\}\; \{N\}.$

donde está cierto constante el C, dependiendo de la secuencia. Después de la conjetura 2, estas secuencias se creen para tener la orden mejor de la convergencia. Ver también: El Halton ordena .

Límites más bajos

Dejar el   del s ; =  1. Entonces

$D\_N^*\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; x\_N\; \{2N\}$

para cualquie determinado x ₁,   del punto finito; …,   N del _{del x .}

Dejar el   del s ; =  2. Schmidt probó que para cualquier determinado x ₁,   del punto finito; …,   N del _{del x,}

$D\_N^*\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; geq\; C\; \backslash \; frac\; del\; x\_N\; \{\backslash \; registro\; N\}\; \{N\}$

donde

$C=\; \backslash \; max\_\; \{a\; \backslash \; geq3\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\; \backslash \; frac\; \{a-2\}\; \{a\; \backslash \; registro\; a\}\; =0.02333\dots$

Para el   arbitrario del s de las dimensiones; >  1, K. Roth probó eso

$D\_N^*\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^\; \{4s\}\}\; \backslash \; ^\; del\; frac\; \{1\}\; \{((S1)\; \backslash \; log2)\; \backslash \}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; log^\; \{\backslash \; frac\; \{S1\}\; \{2\}\}\; N\}\; \{N\}\; del\; x\_N\; del\; frac\; \{S1\}\; \{2\}$

para cualquie determinado x ₁,   del punto finito; …,   N del _{del x . Este límite es el más conocido para el   del s ; >  3.}

Usos

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