En las matemáticas, un A del sistema es el Dedekind-infinito si un cierto apropiado B del subconjunto A es Equinumerous a el A . Explícitamente, esto significa que hay una función Bijective A sobre un cierto B del subconjunto apropiado del A . Un sistema es el Dedekind-finito si no es Dedekind-infinito.

Comparación con la definición generalmente del sistema infinito

Esta definición del " " infinito del sistema ; debe ser comparado y ser puesto en contraste con la definición generalmente: un A del sistema es el finito si el A es el vacío, o si hay un positivo n del número entero tales que el A es equinumerous al sistema {1, 2, 3,…, n }. Explícitamente, esto significa que hay un bijection entre el A y un cierto miembro del ω, donde el ω se define para ser la intersección de todos los sistemas que contengan el sistema vacío y es cerrado bajo operación ordinal del sucesor . Un sistema es el infinito si no es finito.

Durante la 3ultima mitad del siglo XIX, la mayoría de los matemáticos asumieron simplemente que un sistema es infinito si y solamente si él es Dedekind-infinito. Sin embargo, esta equivalencia no se puede probar con los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de la opción (CA) (" generalmente denotado; " ZF ;). La fuerza completa de la CA no es necesaria probar la equivalencia; de hecho, la equivalencia de las dos definiciones es el terminantemente más débil que el axioma de la opción contable (cc). (Véase las referencias abajo.)

sistemas Dedekind-infinitos en el ZF

Las condiciones siguientes son equivalentes en el ZF . Particularmente, observar que todas estas condiciones se pueden demostrar para ser equivalentes sin usar la CA.
el A del

es Dedekind-infinito.
Hay un f de la función : A del → del A que es el inyectivo pero no el surjective.
Hay un f de la función inyectiva: A del → del N, donde el N denota el sistema de todos los números naturales
El A tiene un subconjunto contable infinito .

Cada Dedekind-infinito A del sistema también satisface el la condición Hay un f de la función : A del → del A que es surjective pero no inyectivo, pero no es demostrable (en el ZF sin la CA) que esta condición implica que el A es Dedekind-infinito. (Por ejemplo, si el B es un sistema infinito pero Dedekind-finito, y el A es el sistema de las secuencias unas por finito del B, entonces " caer el " pasado del elemento ; es una función surjective pero no inyectiva del A a el A, con todo el A es Dedekind finito.)

También, las declaraciones siguientes referentes a sistemas Dedekind-infinitos son demostrables en el ZF .

cada sistema Dedekind-infinito es infinito.
Cada infinito, sistema Well-ordered es Dedekind-infinito.
Si el A es infinito, después el Powerset del powerset del A es Dedekind-infinito.
Si hay un surjection del A a el A que no es una inyección, después el powerset del A es Dedekind-infinito.

Relación a la CA y a ACω

Desde cada sistema infinito, well-ordered es Dedekind-infinito, y puesto que la CA es equivalente al teorema de Bien-petición que indica que cada sistema puede ser well-ordered, la CA general implica claramente que cada sistema infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de las dos definiciones es mucho más débil que la fuerza completa de la CA.

Particularmente, existe un modelo del ZF en el cual exista un sistema infinito sin subconjunto denumerable. Por lo tanto, en este modelo, existe un sistema infinito, Dedekind-finito. Por el antedicho, tal sistema no puede ser well-ordered en este modelo.

Si asumimos el cc (AC_ω), después sigue que cada sistema infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de estas dos definiciones es de hecho terminantemente más débil que incluso el cc. Explícitamente, existe un modelo del ZF en el cual cada sistema infinito sea Dedekind-infinito, con todo el cc falla.

Historia

El término se nombra después alemán Richard Dedekind del matemático, que primero introdujo explícitamente la definición. Es notable que esta definición era la primera definición del " infinite" cuál no confió en la definición de los números naturales (a menos que uno sigue Poincaré y mira la noción del número como antes incluso de la noción del sistema). Aunque tal definición fuera sabida al Bernard Bolzano, los términos de su exilio político de la universidad de Praga en 1819 lo previno de publicar su trabajo en cualesquiera pero los diarios más obscuros. También se ha discutido que su tratamiento de la materia era circular y ambiguo en la presentación. Por otra parte, la definición de Bolzano era más exactamente una relación que celebró entre dos sistemas infinitos, algo que una definición de un infinito por sí mismo del sistema.

Durante mucho tiempo, muchos matemáticos incluso no entretuvieron el pensamiento que pudo haber una distinción entre las nociones del sistema infinito y del sistema Dedekind-infinito. De hecho, la distinción no fue observada realmente hasta después de que el Ernst Zermelo formulara la CA explícitamente. La existencia de sistemas infinitos, Dedekind-finitos fue estudiada por el Bertrand Russell y el Alfred Whitehead del norte en 1912; estos sistemas eran en el primer llamado cardenales mediatos o los cardenales de Dedekind del .

Con la aceptación general del axioma de la opción entre la comunidad matemática, estas ediciones referentes a sistemas infinitos y Dedekind-infinitos han llegado a ser menos centrales a la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, el estudio de sistemas Dedekind-infinitos desempeñó un papel importante en la tentativa de aclarar el límite entre el papel finito e infinito, y también importante en la historia de la CA.